Question

O conjunto de valores reais k, para que a função f(x)=x²+k(x+1)-1, definida no conjunto dos números reais, tenha duas raízes reais a e b com a

Answer 1

$\displaystyle \sf f(x) = x^2+k\cdot (x+1)-1\\\\ f(x) = x^2+k\cdot x+k-1 \\\\ \underline{\text{Para que tenha raizes reais : \ }\Delta \geq 0 } \\\\ k^2-4\cdot (k-1)\geq 0\\\\ k^2-4k+4 \geq 0\\\\ (k-2)^2\geq 0 \\\\ k-2\geq 0\\\\ k\geq 2\\\\ Fa{\c c}amos \ a < b : \\\\ \frac{-k+\sqrt{(k-2)^2}}{2a}<\frac{-k-\sqrt{(k-2)^2}}{2a} \\\\\\ -k+(k-2) < -k-(k-2) \\\\ -2< -2k+2\\\\ 2k < 2+2 \\\\ 2k<4 \\\\ k< 2$

Juntando com a condição de existência para os reais, temos :

$\displaystyle \sf (k\geq 2)\ \cap\ (k<2) = (-\infty, 2) \ \cup\ (2,\infty) \\\\ Portanto : \\\\ \huge\boxed{\sf \mathbb{R} -\{ 2\} }\checkmark$