Question

Empuxo é o nome dado à força exercida por um

fluido sobre um objeto mergulhado total ou

parcialmente nele. Também conhecido como

Princípio de Arquimedes, o empuxo sempre

apresenta direção vertical e sentido para cima. Este é

utilizado na construção de navios, por exemplo. A fim

de testar um novo material, um grupo de engenheiros

da marinha resolveu fazer um esfera oca, de raio

interno 8cm e raio externo 9cm, colocando-a para

flutuar em um líquido de densidade 800km m⁄s. Eles

verificam que metade da esfera fica submersa. Após

realizarem os cálculos necessários, os engenheiros

concluíram que a densidade do material da esfera e a

sua massa valem, respectivamente:

a) 1,35 × 10.�� �. ⁄ e 0,820��

b) 1,35 × 10.�� �. ⁄ e 1,17��

c) 1,35 × 10.�� �. ⁄ e 1,60 × 10V.��

d) 299 × 10.�� �. ⁄ e 1,60 × 10V.��

e) 299 × 10.�� �. ⁄ e 1,17��

Answer 1

O material possui massa aproximada de 1,22kg e densidade de 1,34*10³kg/m³. Logo, a letra b) é a correta.

Vamos começar calculando o volume da casca dessa esfera que é composta pelo novo material.

O volume da casca será:

$V_{casca} = V_{esfera} - V_{oca} = \frac{4\pi R_{externo}^3}{3} - \frac{4\pi R_{interno}^3}{3} = \frac{4\pi (R_{externo}^3 - R_{interno}^3)}{3} \\\\V_{casca} = \frac{4\pi*(9^3 - 8^3)}{3} = \frac{868\pi }{3} cm^3 = \frac{868\pi }{3} *10^{-6} m^3$

E o volume da região oca:

$V_{oca} = \frac{4\pi *R_{interno}^3}{3} = \frac{4\pi *8^3}{3} = \frac{2048\pi }{3} cm^3 = \frac{2048\pi }{3} *10^{-6} m^3$

Se apenas metade da esfera fica submersa, então:

$V_{submerso} = V_{casca}/2$

Na situação de equilíbrio hidrostático descrita, é válida a igualdade:

$\frac{d_{esfera}}{d_{liquido}} = \frac{V_{submerso}}{V_{casca}} = \frac{V_{casca}/2}{V_{casca}} = \frac{1}{2} \\\\d_{esfera} = \frac{d_{liquido}}{2}$

Substituindo o valor da densidade do líquido:

$d_{esfera} = \frac{d_{liquido}}{2} = \frac{800}{2} = 400kg/m^3$

Considerando que o interior oco da esfera contém ar, e a densidade dele é $d_{ar} = 1 kg/m^3$ vamos ter:

$d_{esfera} = \frac{m_{material} + m_{ar}}{V_{oca} + V_{casca}} = \frac{m_{material} + d_{ar}*V_{oca}}{V_{casca} + V_{oca}}$

Substituindo todos os valores poderemos encontrar a massa do material:

$400 = \frac{m_{material} + 1*\frac{2048\pi }{3} *10^{-6}}{\frac{868\pi }{3} *10^{-6} + \frac{2048\pi }{3} *10^{-6}} = \frac{m_{material} + \frac{2048\pi }{3} *10^{-6}}{\frac{2916\pi }{3} *10^{-6}} \\\\m_{material} + \frac{2048\pi }{3} *10^{-6} = 400*\frac{2916\pi }{3} *10^{-6}\\\\m_{material} = \frac{1166400\pi}{3} *10^{-6} - \frac{2048\pi }{3} *10^{-6} = \frac{1164352\pi }{3} *10^{-6} = 1219270,6*10^{-6} kg = 1,22kg$

Deste modo, a sua densidade será:

$d_{material} = \frac{m_{material}}{V_{casca}} = \frac{1,22}{\frac{868\pi}{3} *10^{-6}} = 1,34*10^3 kg/m^3$

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