Question

Sejam u e v vetores tais que ||u||= k e ||v||= 2k, com k€IR. Qual o valor de (u+v) . (u-v)?

Answer 1

$\boxed{\begin{array}{l}\rm(u+v)\cdot(u-v)=u^2-v^2\\\rm (u+v)\cdot(u-v)=(k)^2-(2k)^2\\\rm(u+v)\cdot(u-v)=k^2-4k^2\\\rm(u+v)\cdot(u-v)=-3k^2\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\rm\dagger\,\red{\maltese}~\blue{alternativa~C}}}}}\end{array}}$

Answer 2

Resposta:

- 3k²   logo C)

Explicação passo a passo:

Observação 1 → Produto Interno ou escalar de vetores

Tal como aparece aqui indicado ( u + v ) . ( u - v ), o sinal ( . ) não é um sinal

da operação tradicional de multiplicação,

É sim o sinal de " Produto Interno de vetores"

E tem significado distinto.

Observação 2 → Desenvolvimento de um produto interno de vetores

Pegando novamente neste exemplo:

(u + v) . ( u - v) =  u . u - u . v + v . u - v . v

Ficamos com quatro produtos internos de vetores.

Aplicando a Propriedade Comutativa do Produto Interno de Vetores

u . v = v . u

Aplicando a Propriedade de produto interno de um vetor por ele mesmo

u . u = || u ||²

Deste modo prosseguimos nos cálculos:

(u + v) . ( u - v) =  u . u  - u . v  + v . u - v . v

(u + v) . ( u - v) =  || u ||² - u . v + u . v - || v ||²

"- u . v"  e  " + u . v " são opostos ( simétricos) anulam-se na adição

(u + v) . ( u - v) =  || u ||² - || v ||²

Sendo dado que :

||u||= k e ||v||= 2k

(u + v) . ( u - v) =  k² -  ( 2 * k )²

= k² -   2² * k²

= k² -   4 * k²

= ( 1 - 4 ) * k²

= - 3k²   logo C)

Fim de cálculos

Observação 3 → Símbolos usados e diferenças

Se você estiver no Brasil dirá e escreverá que:

|  vetor u | → Norma ou módulo de um vetor = dimensão do vetor

Se estiver fora do Brasil ( exemplo Portugal ) escreverá

|| vetor u || → Norma de um vetor = dimensão do vetor

Em Portugal :

|    | é reservado, principalmente para módulo de um número,

representando a distância desse número em relação ao zero da reta dos

números reais.

Exemplo:

| - 4 | = 4

| 5 | = 5

Como se tratam de distâncias, módulos dão origem a valores positivos.

Não se usa distâncias negativas.

            - 4                                                 5

-------------X------------------0----------------------X-----------

Observação 4 → Propriedades do Produto Interno ou Escalar de vetores

1ª )   Propriedade comutativa

v . w = w . v

2ª)   Propriedade de produto interno de um vetor por ele mesmo

v . v = ||v|| * ||v|| = ||v||²

Demonstração desta propriedade.

v . v = || v|| * || v || * cos (v ^ v )

Mas o ângulo ( v ^ v ) é igual a zero. Os vetores são coincidentes.

cos ( 0 º ) = 1

Logo

v . v = || v || * || v || * 1

v . v = || v|| * || v ||

v . v = || v||²

3ª)   Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ( no produto interno de vetores )

u . ( v + w ) = u . v + u . w

4ª)  Propriedade associativa

(kv).w = v.(kw) = k(v.w)

5ª)   Propriedade da multiplicação de um vetor por um valor K

|kv| = |k| |v|

6ª)   |u.v| ≤ |u| |v|    (desigualdade de Schwarz)

7ª)   |u+v| ≤ |u| + |v|   (desigualdade triangular)

( As duas últimas propriedades ainda não deverá ter dado nesta fase inicial

de produto interno de vetores )

Bons estudos.

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( . ) Produto Interno ou escalar de vetores

( * ) multiplicação                 ||      ||   norma de um vetor