Question

como devo proceder para resolver essa questão

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Answer 1

Boa noite Evaristo!

Solução


O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) não só torna o cálculo de integrais mais simples, como também contém em si a relação entre a derivada, o limite e a integral. Isto porque o Teorema afirma que o valor da integral $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx$ , pode ser calculado com o auxílio de uma função F , tal que a derivada de F seja igual a f , possibilitando encontrar o valor de uma integral utilizando uma primitivada função integrando. Sendo a integral generica :

$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-f(a)$

Escreve-se

 $F(x)\Bigg|_{a}^{b}$ Para indicar    $F(a)-f(b)$ 

Exercicio A

$f(x)=3x^{2}$  em  $[0,2]$   é igual a 8 ou

seja  $\displaystyle\int_{0}^{2}3x^{2}dx$ 

 $F(x)=\dfrac{3x^{3}}{3}=x^{3}$  é uma primitiva da função $f(x)$ 

$\displaystyle \int_{0}^{2}3x^{2}dx$

$F(x) \Bigg|_{0}^{1} =F(2)^{3}-F(0)^{3}=8$


$\boxed{Resposta: \int_{0}^{2}3x^{2}dx=8}$


Exercicio B

$\displaystyle \int_{0}^{1}(5x^{4}+e^{x})dx$

$f(x)=(5x^{4}+e^{x})$  em  $[0,1]$  é igual  a  $e\cong2,72$ 

$F(x)=\dfrac{5x^{5}}{5}+e^{x} =x^{5}+e^{x}$ que é uma primitiva de

$f(x)=(5x^{4}+e^{x})$ pois

$F'(x)=\dfrac{5x^{5}}{5}+e^{x}=5x^{4} +e^{x}=f(x)$


Pelo TFC

$\displaystyle \int_{0}^{1}5x^{4}+e^{x}dx=(x^{5}+e^{x})\Bigg|_{0}^{1}~~F(1)-F(0)$

$(1^{5}+e^{1})-(0^{5}+e^{0)}\\\\\\ (1+e)-(0+1)\\\\\\ (1-1+0+e)\\\\\\ (e )\\\\\\ \boxed{Resposta:\displaystyle \int_{0}^{1}5x^{4}+e^{x}dx=e} \\\\\\ \boxed{Resposta:\displaystyle \int_{0}^{1}5x^{4}+e^{x}dx=2,72}$

Boa noite!

Bons estudos!