Question

Encontre os pontos críticos xc da função

f(x)= − 10x^3 + 37x^2 − 36x + 10

e responda no espaço abaixo o valor correto do ponto crítico xc em que a função f acima tem um máximo relativo.

Answer 1

Pontos críticos:

Temos a seguinte função:

$\sf \bullet \: f(x) = - 10x {}^{3} + 37x {}^{2} - 36x + 10$

• Para encontrar os pontos críticos, devemos descobrir os valores que anulam a derivada primeira.

Derivando a função f(x):

$\sf \frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{dx} ( - 10 {x}^{3} + 37x {}^{2} - 36x + 10) \\ \\ \sf \frac{df(x)}{dx} = - 30x {}^{2} + 74x - 36$

Igualando a 0 e resolvendo a equação do segundo grau, obtemos que os pontos são:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \sf - 30x {}^{2} + 74x - 36 = 0 \\ \\ \sf x = \frac{ - 74 \pm \sqrt{(74) {}^{2} - 4.( - 30).( - 36)} }{2.( - 30)} \\ \\ \sf x = \frac{ - 74 \pm \sqrt{5476 - 4320} }{ - 60} \: \: \to \: \: \sf x = \frac{ - 74 \pm \sqrt{1156} }{ - 60} \\ \\ \sf x = \frac{ - 74 \pm34}{ - 60} \: \: \to \: \boxed{\sf\: x_{1} = \frac{2}{3} \: \: ou \: \: x_{2} = \frac{9}{5} }$

Portanto estes são os pontos que anulam a derivada primeira, ou seja, os pontos críticos.

Extremos (mínimo ou máximo)

A questão pede o ponto em que a função possui um máximo relativo, para isso vamos utilizar o teste da derivada segunda, onde:

$\begin{cases} \sf f''(c) > 0 \: \to \: m \acute{i}nimo \\ \sf f'' (c) < 0 \: \to \: m \acute{a}ximo \end{cases}$

• OBS: O elemento "c" representa o(s) ponto(s) crítico(s) da função.

Vamos derivar a expressão que encontramos ao derivar a função f(x) uma vez:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \sf \frac{d {}^{2} f(x)}{dx {}^{2} } = - 60x + 74$

Tendo feito isto, podemos fazer o teste utilizando os pontos críticos encontrados anteriormente:

$\sf \frac{d {}^{2}f \left( \frac{2}{3} \right) }{dx} = - 60. \frac{2}{3} + 74 \: \: \to \: \: \frac{d {}^{2}f \left( \frac{2}{3} \right) }{dx} = - 40 + 74 \\ \\ \boxed{ \sf \frac{d {}^{2}f \left( \frac{2}{3} \right) }{dx} = 34 > 0 \: \to \: m \acute{i}nimo} \\ \\ \sf \frac{d {}^{2}f \left( \frac{9}{5} \right) }{dx} = - 60. \frac{9}{5} + 74 \: \: \to \: \: \frac{d {}^{2}f \left( \frac{9}{5} \right) }{dx} = - 108 + 74 \\ \\ \boxed{\sf \frac{d {}^{2}f \left( \frac{9}{5} \right) }{dx} = - 34 < 0 \: \to \: \: m \acute{a}ximo}$

Portanto, já sabemos que o ponto x = 9/5 é um máximo local, agora só falta descobrir o ponto na forma (x,y). Para isso basta substituir o valor de x na função:

$\sf f\left( \frac{9}{5} \right) = - 10.\left( \frac{9}{5} \right) {}^{3} + 37.\left( \frac{9}{5} \right) {}^{2} - 36. \left( \frac{9}{5} \right)+ 10 \\ \\ \boxed{\sf f\left( \frac{9}{5} \right) = \frac{169}{25} }$

Portanto temos que o ponto de máximo é:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\bullet \: \: \sf P\left( \frac{9}{5}, \frac{169}{25} \right)}$

Espero ter ajudado