Question

Assinale a alternativa correta que corresponde ao valor da integral
∫xcos(2x)dx

Answer 1

⇒ Usando o método da integração por partes, concluímos que a integral indefinida é $\dfrac{1}{4}\Bigl[ 2x\sin( 2x) +\cos( 2x)\Bigr] +c$

☞    Usaremos a Técnica da Integração por Partes

$\Large{\boxed{\int udv=uv-\int vdu}}$

➜   Faremos as seguintes substituições: seja  $u=x \Rightarrow du=dx$  e

$\begin{array}{l} \displaystyle dv=\cos( 2x) dx\Longrightarrow \int dv=\int \cos( 2x) dx\Longrightarrow \\ \\ \displaystyle \Longrightarrow v=\dfrac{\sin( 2x)}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[ \because \int \cos( ax) dx=\dfrac{\sin( ax)}{a} +c\right] \end{array}$

∴   A integral   $\displaystyle \int x \cos (2x)dx$

$\begin{array}{l} \displaystyle=x\dfrac{\sin( 2x)}{2} -\int \dfrac{\sin( 2x)}{2} dx\\ \\ \displaystyle=\dfrac{1}{2}\left[ x\sin( 2x) -\int \sin( 2x) dx\right] \ \ \ \ \ \left[ \because \int af( x) \ dx=a\int f( x) dx\right]\\ \\ \displaystyle=\dfrac{1}{2}\left[ x\sin( 2x) +\dfrac{\cos( 2x)}{2}\right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[ \because \int \sin( ax) dx=-\dfrac{\cos( ax)}{a} +c\right] \end{array}$

➜   Multiplicando a expressão  $x\sin(2x)$  por 2/2:

$\begin{array}{l} =\dfrac{1}{2} \cdotp \dfrac{1}{2}\Bigl[ 2x\sin( 2x) +\cos( 2x)\Bigr]\\ \\ =\dfrac{1}{4}\Bigl[ 2x\sin( 2x) +\cos( 2x)\Bigr] \end{array}$

➜   Por fim, adicionando a constante de integração

$\displaystyle \int x\cos( 2x) dx=\underline{\boxed{\dfrac{1}{4}\Bigl[ 2x\sin( 2x) +\cos( 2x)\Bigr] +c}}$

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