Question

UNCISAL

Em um filme de espionagem, o agente deve descobrir uma senha de 5 dígitos. A única informação que tem são as marcas deixadas no teclado, que mostram que apenas as teclas 3, 5, 7 e 8 foram tocadas. Na ficção, depois de algumas tentativas, o agente descobre a senha correta.
Na vida real, qual a probabilidade de encontrar a senha com uma única tentativa?

a) 1/240

b) 1/670

c) 1/90

d) 1/180

Eu obtive a resposta, mesmo com uma dúvida que não me deixa certo quanto à validade de meu raciocínio, o qual exponho agora:

Sabe-se que as teclas 3, 5, 7 e 8 fazem parte da senha, mas não garante uma disposição desse números necessariamente nessa ordem. Portanto, devemos permutar esses elementos, o que daria-nos 24 possibilidades de diferentes com esses 4 dígitos.
Porém, agora é que eu duvido de mim mesmo, pois são necessários 5 algarismo para completar o código de passagem, e, considerando que o dispositivo possua uma numeração de 0 a 9, o que implica 10 dígitos, temos 10 elementos diferentes para completar o espaço vazio. Sendo assim, para chegarmos na resposta certa, 1/240, devemos multiplicar as 24 possibilidades que nos dá a permutação pelos 10 possíveis algarismo possíveis.

Mas é nesse momento que começo a perguntar-me: não seria adequado uma permutação de 5 elementos em vez de 4? A posição do dígito desconhecido, de algum modo, não seria afetada - ou deveria ser incluída? - pela permutação?

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Answer 1

Resposta:

a)

Explicação passo a passo:

Creio que a multiplicação que você fez de 24 por 10 dígitos tenha chegado ao resultado por acaso, pois não me parece o raciocínio correto.

Vou escrever 2 formas de raciocínio.

1ª Forma:

A senha tem 5 dígitos, e o agente sabe que apenas 4 botões dos 10 são necessários para a senha. Ou seja, de cara, 6 dígitos são desprezados, o agente não vai apertá-los, pois sabe que certamente não compõem a senha, então estão fora do espaço amostral.

Se a senha tem 5 dígitos e apenas 4 foram apertados, então certamente um desses dígitos é repetido na senha.

Ex: (3 5 8 3 7) (possível senha com repetição do dígito 3)

Então, vamos compor a senha:

Primeiro precisamos escolher uma dupla dos 5 dígitos possíveis que serão repetidos. A ordem na dupla escolhida não é importante, pois terão o mesmo dígito. Isso é feito com C5,2.

Essa dupla pode assumir 4 valores possíveis, pois existem apenas 4 dígitos possíveis (3, 5, 7, 8).

Então o total de possibilidades de escolher uma dupla dos 5 dígitos e se repetirem é C5,2 . 4

Com isso, sobram 3 dígitos na senha e 3 possibilidades de números, que podem ser permutados livremente entre si, ou seja, P3.

Para juntar essas condições, multiplicamo-las:

$C_{5,2}.4.P_3 =\\ \\ \frac{5.4.3!}{3!.2!} .4.3.2! = \\ \\ 10.24 = \\ \\ \bold{240}$

Então a probabilidade de acertar de primeira é $\frac{1}{240}$

2ª Forma (talvez mais próxima do seu raciocínio):

Um exemplo de senha é:

3,5,8,7,5 (repetição do segundo e quinto dígito com 5)

Podemos fazer a permutação de todos esses dígitos com repetição de 2 e com isso acharemos o total de possibilidades de senhas em que o 5 se repete:

$P_{5,2} = \frac{5.4.3.2!}{2!} = 60$

Contudo, isso reflete apenas a possibilidade em que o dígito 5 se repete, mas existem 4 possíveis dígitos que se repetem, logo devemos multiplicar por 4:

60 . 4 = 240

Então a probabilidade de acertar de primeira é $\frac{1}{240}$