Question

Resolva essa integral indefinida, só tem UMA
∫$\frac{x^4+x+1}{x^3+x}$

Answer 1

Resposta:

∫ (x^4 +x+1)/(x³+x)  dx

________________________________

x^4 +x+1

=x^4 +x+1 +2x²-2x²

=x^4 +2x²+1  +x-2x²

=(x²+1)²  +x-2x²

________________________________

∫ ((x²+1)²  +x-2x²)/(x³+x)  dx

∫ ((x²+1)²  +x-2x²)/x(x²+1)  dx

∫(x²+1)²/x(x²+1)  +(x-2x²)/x(x²+1)  dx

∫(x²+1)/x  +(1-2x)/(x²+1)  dx

∫x + 1/x   +(1-2x)/(x²+1)  dx

∫ x + 1/x   + 1/(x²+1)     -2x/(x²+1)  dx

∫ x dx  +∫  1/x   +∫  1/(x²+1) dx - 2  ∫ x/(x²+1)  dx

=x²/2 +ln|x| + ∫  1/(x²+1) dx - 2  ∫ x/(x²+1)  dx

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∫  1/(x²+1) dx

Fazendo x=tan(Θ)    ==>dx= sec²(Θ) dΘ

∫ [ 1/(tan²(Θ) +1)]      sec²(Θ) dΘ

∫ [ 1/(sen²(Θ)/cos²(Θ)+1)]      sec²(Θ) dΘ

∫ [ 1/(sen²(Θ)/cos²(Θ)+cos²(Θ)/cos²(Θ))]      sec²(Θ) dΘ

∫ [ 1/(sen²(Θ)+cos²(Θ)/cos²(Θ))]      sec²(Θ) dΘ

∫ [ 1/(1/cos²(Θ)]      sec²(Θ) dΘ

∫ [ 1/(sec²(Θ)]      sec²(Θ) dΘ

∫ dΘ  = Θ    + c

como x=tan(Θ)  ==> Θ =arctan(x)

∫  1/(x²+1) dx =arctan(x) + c

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∫ x/(x²+1)  dx

u=x²+1  ==>du=2x dx

∫ x/u du/2x = (1/2) ∫  1/u   du    =(1/2)* ln|u| + c

Como u = x²+1

∫ x/(x²+1)  dx =(1/2)* ln|x²+1|   + c

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∫ (x^4 +x+1)/(x³+x)  dx

=x²/2 +ln|x| +arctan(x)  - 2 ((1/2)* ln|x²+1| ) +c

=x²/2 +ln|x| +arctan(x)  - ln|x²+1|  + c