Question

Calcule a área sob a curva y=cos(x) e o eixo ‘x’ no intervalo de x = 0 a x = π

Answer 1

✅ A área entre a curva $\rm y = \cos(x)$ e o eixo das abscissas é $\rm A = 2\,u.a.$

 

☁️ A área de uma região delimitada por limitações conhecidas ( curvas e retas verticais, neste caso ) é calculada através do processo de integração consoante o teorema fundamental do cálculo.

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm\qquad A = \int\limits_{x_1}^{x_2} f(x) \,dx = F(x_2) - F(x_1) \qquad}}}$

 

❏ Um conhecimento prévio importante é o formato do gráfico da função cosseno [ veja o anexo ]. Note que o intervalo é $\rm [0, \pi]$ e note ainda que a função assume um trecho positivo ( acima do eixo Ox ) no subintervalo $\rm [ 0,\, ^{\pi}\!\!/_{2}]$ e um trecho negativo ( abaixo do eixo Ox ) no subintervalo $\rm [^{\pi}\!\!/_{2}, \pi ]$.

 

ℹ️ Mencionei o fato anterior, pois diante dessa circunstância de metade do intervalo de positivo e a outra metade negativa poderemos utilizar a seguinte propriedade de integrais definidas.

 

( Obs.: Não necessariamente precisa ser metade positiva e metade negativa, essa propriedade pode ser utilizada de diversas formas )

 

☁️ Considere uma função integrável no intervalo $\rm [x_i, x_f]$ e um ponto $\rm \bar{x}$ no interior do intervalo, então

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm\qquad \int\limits_{x_i}^{x_f} f(x)\,dx = \int\limits_{x_i}^{\bar{x}} f(x)\,dx + \int\limits_{\bar{x}}^{x_f} f(x)\,dx \qquad}}}$

 

✍️ Já sabemos o suficiente, bora lá calcular a área.

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm A = \int\limits_{0}^{\pi} \cos(x) \,dx &=\\ &=\displaystyle\rm \left[ \int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos(x) \,dx\right] + \left[ - \int\limits_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi} \cos(x) \,dx \right] \\\\ &= \displaystyle\rm \left\{\left.\sin(x) \right]_0^{^{\pi}\!\!/_{2}} \right\} + \left\{- \left. \sin(x) \right]_{^{\pi}\!\!/_{2}}^{\pi} \right\} \\\\ &= \rm \left\{ \sin\left( \tfrac{\pi}{2}\right) - \sin(0) \right\} + \left\{ -\left[ \sin(\pi) - \sin \left( \tfrac{\pi}{2} \right) \right] \right\} \\\\ &= \rm \left[(1-0)\right] + \left[ -(-1 - 0)\right]\end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: \displaystyle\rm A = \int\limits_{0}^{\pi} \cos(x) \,dx = 2\,u.a.}}}}\end{array}$

 

✔️ Essa é a área entre a função cosseno e o eixo x.

 

⚠️ Você poderia pensar o problema imaginando que em módulo a função cosseno seria simétrica em torno do ponto $\rm ^{\pi}\!\!/_{2}$ e portanto duas vezes a integral sobre o intervalo $\rm [ 0,\, ^{\pi}\!\!/_{2}]$

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre integral definida, área abaixo de uma curva:

• https://brainly.com.br/tarefa/48862081

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$