calcule o limite $\lim _{x\to \infty \:}\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x$

Anônimo: boa tarde!sei responder as tuas questões de limite, se tiver interessado me chama no whats:98 98852-4722

Respostas

respondido por: Skoy

Desejamos calcular o seguinte limite exponencial:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x \end{gathered}$}$

Para isso, vale ressaltar o seguinte limite fundamental exponencial:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sf \lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac{1}{x}\right)^x=e \end{gathered}$}$

Com isso, vamos então fazer uma substituição, chamando então:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sf u=x-1\implies x=u+1\end{gathered}$}$

E se x tente ao infinito, logo u também tenderá ao infinito pois $\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sf u=x-1\implies u= \infty-1\implies u=\infty\end{gathered}$}$ . Com isso, temos que aquele limite é igual a:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x = \lim_{u \to \infty} \left(\frac{u+1+3}{u}\right)^{u+1} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x = \lim_{u \to \infty} \left(1+\frac{4}{u}\right)^{u+1} \end{gathered}$}$

Veja que já está bem parecido com o limite fundamental, vamos agora fazer outra substituição. Chamando então:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf \frac{4}{u} =\frac{1}{t} \implies u=4t \end{gathered}$}$

Destarte, surge que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf \lim_{u \to \infty} \left(1+\frac{4}{u}\right)^{u+1} = \lim_{t \to \infty} \left(1+\frac{1}{t}\right)^{4t+1} \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf \lim_{u \to \infty} \left(1+\frac{4}{u}\right)^{u+1} = \lim_{t \to \infty} \left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right]^4\cdot \lim_{t \to \infty} \left(1+\frac{1}{t}\right)\end{gathered}$}$