Question

Determine os valores de k para que a função φ(x) = (k − 1)x2 + (2k + 3)x + k tenha dois zeros reais e distintos.

Answer 1

De acordo com a resolução abaixo, conclui-se que k pode tomar qualquer valorer real, exceto  $-\frac{9}{16}$ , ou seja, $k\in\mathbb{R}\backslash\!\left\{-\frac{9}{16}\right\}$.

Resolução:

Tem-se a função  $\Phi(x)=(k-1)x^2+(2k+3)x+k\;,\quad k\in\mathbb{R}$

Podemos usar a Fórmula Resolvente para Funções de 2º Grau (Fórmula de Bhaskara) para determinar as expressões gerais dos zeros desta função:

   $x=\dfrac{-(2k+3)\pm\sqrt{(2k+3)^2-4(k-1)k}}{2(k-1)}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-2k-3\pm\sqrt{(4k^2+12k+9)-(4k-4)k}}{2k-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-2k-3\pm\sqrt{(4k^2+12k+9)-(4k^2-4k)}}{2k-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-2k-3\pm\sqrt{4k^2+12k+9-4k^2+4k}}{2k-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-2k-3\pm\sqrt{12k+9+4k}}{2k-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-2k-3\pm\sqrt{16k+9}}{2k-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-2k-3-\sqrt{16k+9}}{2k-2}\quad\vee\quad x=\dfrac{-2k-3+\sqrt{16k+9}}{2k-2}$

Sabendo estas expressões, podemos determinar os valores de k que faz com estas sejam iguais:

   $\dfrac{-2k-3-\sqrt{16k+9}}{2k-2}=\dfrac{-2k-3+\sqrt{16k+9}}{2k-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow-2k-3-\sqrt{16k+9}=-2k-3+\sqrt{16k+9}\quad\wedge\quad2k-2=2k-2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow-\sqrt{16k+9}=\sqrt{16k+9}\quad\wedge\quad \text{Condi\c{c}}\tilde{a}\text{o Universal}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow-2\sqrt{16k+9}=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\sqrt{16k+9}=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow16k+9=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow16k=-9\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow k=-\dfrac{9}{16}$

Daqui, conclui-se que os zeros da função são iguais quando  $k=-\frac{9}{16}$.

Desta forma, podemos também dizer que os zeros serão distintos quando  $k\neq-\frac{9}{16}$ , isto é, para  $k\in\mathbb{R}\backslash\!\left\{-\frac{9}{16}\right\}$.

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