Question

Considere a função de R em R definida por:

$f(x)= -4 -4 sen(\frac{x}{2} -\frac{\pi }{4} )$

Faça oque se pede:

1. O conjunto imagem de f é o intervalo [ , ]
2. O período da função vale?
3. A função f tem amplitude igual a?
4. Calcule f(4)=

Answer 1

Resposta:

1 ) Imagem f(x) = [ - 8 ; 0 ]

2 ) Período = 4π                3 ) amplitude = 4

4 ) f (4) = 7,75 aproximadamente

( gráfico em anexo )

Explicação passo a passo:

$f(x)=-4-4*sen(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi }{4} )$

1 )

Imagem f(x) é [ - 8 ; 0 ]

Cálculo algébrico do Conjunto Imagem, partido do conjunto imagem da

função sen (x).

E progressivamente acrescentado os valores ligados a f (x)

- 1 ≤   sen (x) ≤ 1

- 1 * 4  ≤   4 *sen (x) ≤ 1 * 4

(- 4 ) + ( - 4) ≤   - 4 + ( -  4 *sen (x) )   ≤  4 + ( - 4 )

- 8   ≤  - 4 -  4 *sen (x) ≤  0

- 8 ≤  f (x)  ≤  0

2 )

Período

f ( - π/2 ) = 0   e só volta a ser zero em f ( 7π/2 )

$periodo=|-\dfrac{\pi }{2}|+\dfrac{7\pi }{2} =\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{7\pi }{2}=\dfrac{8\pi }{2}=4\pi$

Por análise do gráfico.

No cálculo algébrico observei entre os  valores de x que

consecutivamente apresentavam a mesma imagem ( neste caso , zero ).

O uso do módulo é feito porque estando perante distâncias não faz

sentido que sejam negativas.

Cálculo algébrico do Período

Quando estamos a procurar o período aplicamos o seguinte

procedimento.

∀x ∈ Df ,  f ( x + p ) = f (x)

Sendo " p " o período da função

$-4 - 4*sen(\dfrac{x+p}{2}-\dfrac{\pi }{4}) =-4 - 4*sen(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi }{4})$

Simplificando:

$(-4+4) - 4*sen(\dfrac{x+p}{2}-\dfrac{\pi }{4}) = - 4*sen(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi }{4})$

$\dfrac{-4}{-4} *sen(\dfrac{x+p}{2}-\dfrac{\pi }{4}) =\dfrac{-4}{-4}*sen(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi }{4})$

$sen(\dfrac{x+p}{2}-\dfrac{\pi }{4}) =sen(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi }{4})$

$sen((\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi }{4})+\dfrac{p}{2}) =sen(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi }{4})$

Como o período fundamental da função seno é 2π ,

então :

$\dfrac{p}{2} =2\pi$

$\dfrac{2*p}{2} =2*2\pi$

$p=4\pi$

Assim o período de :

$f(x)=-4-4*sen(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi }{4} )$

é $4\pi$

Verificado e Igual ao calculado graficamente.

3 )

Amplitude      

$amplitude= \dfrac{maximo-minimo}{2} =\dfrac{0-(-8)}{2} =\dfrac{8}{2} =4$

4 )

$f(4)=-4-4*sen(\dfrac{4}{2}-\dfrac{\pi }{4} )=-7,74892250...$  

( este valor foi obtido em calculadora )  

Bons estudos .

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( * )  multiplicação     ( |    | )    módulo de     ( ∀ )   qualquer que

( ∈ )  pertencente a             ( Df )  domínio de f(x)

( R ) ponto associado ao cálculo de f (4)

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.