Question

Prove que o elemento neutro da multiplicação é único.

Answer 1

✅ Após ter finalizado a demonstração, concluímos que o elemento neutro da multiplicação de fato é:

                             $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \acute{U}nico\:\:\:}}\end{gathered} }$

"Já sabemos que o elemento neutro da multiplicação é o cardinal '1'. Pois se multiplicarmos 1 por qualquer outro número o resultado não se altera."

Pois bem, seja a proposição:

  "O número '1' é o único elemento neutro da multiplicação."

Reescrevendo a proposição na forma "se/então", temos:

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\underbrace{Se\:1\:\acute{e}\:o\:elemento\:neutro\:da\:multiplicac_{\!\!,}\tilde{a}o}_{\bf Hip\acute{o}tese = p},\:\underbrace{ent\tilde{a}o\:ele\:\caute{e}\:\acute{u}nico.}_{\bf Tese = q} \end{gathered} }$

Para provarmos a unicidade do elemento neutro da multiplicação podemos utilizar a técnica de demonstração "Redução ao Absurdo". Por meio desta técnica, devemos provar que, quando simultaneamente afirmamos a hipótese "p" e negamos a tese "q", obtemos por conseguinte, uma contradição "c", ou seja:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} p\wedge\sim q \Longrightarrow c\end{gathered}$

Então, supondo - por "absurdo" - que existe dois elementos neutros para a multiplicação, que são, respectivamente:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1\:e\:\bar{1},\:\:\:tal\:que\:1\ne\bar{1}\end{gathered}$

Sendo "x" um número qualquer, temos:

                               $\Large\begin{cases} 1\cdot x = x\\\bar{1}\cdot x = x\end{cases}$

Então:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = x\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}1\cdot x = \bar{1}\cdot x \end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} 1 = \frac{\bar{1}\cdot {\!\diagup\!\!\!\!x}}{\!\diagup\!\!\!\!x} \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 = \bar{1}\end{gathered}$

Se equação "II" afirma que...

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 = \bar{1}\end{gathered}$

...então, isto significa que nossa suposição inicial...

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1\ne\bar{1}\end{gathered}$

...de fato, foi absurda.

✅ Portanto, concluímos que o elemento neutro da multiplicação - o número "1" - de fato é único.

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