Question

A) Calcule o limite lateral lim(x-> 1+) f(x)

B) Calcule o limite lateral lim(x-> 1-) f(x)

C) Determine o valor real de a para que a função f possua limite em x = 1

D) Determine o valor real de b para que a função f possua limite em x = 1

Answer 1

De acordo com os cálculos feitos, obtemos as seguintes respostas para cada um dos itens solicitados:

$a)\: -3\:,\:\: b)\:\frac{2}{a}\:,\:\:c) \:a =- \frac{2}{3} \:e\:\: d)\: b = -7$

Explicação

Temos a seguinte função:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x {}^{3} - 1}{a(x - 1)}, \: se \: x < 1 \\ b + 4 , \: se \: x = 1 \\ \frac{1}{x} - 3 + x , \: se \: x> 1\\ \end{cases}$

Antes de iniciarmos os cálculos, vamos fazer uma breve recapitulação sobre o que será usado para a resolução desta questão.

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Limites Laterais:

Como sabemos, os limites buscam se aproximar de um valor sem chegar a ser tal. No caso dos limites laterais, ao invés de tender diretamente ao valor, ele busca se aproximar lateralmente, isto é, por valores maiores ou menores que o estudado.

• Quando o limite se aproxima pela direita de um certo número, isto é, valores maiores que ele, a simbologia usada é um (+) em cima do número.$\lim_{x\to a^+}f(x)$.
• Quando o limite de aproxima pela esquerda de um certo número, isto é, valores menores que ele, a simbologia usada é um (-) em cima do número.$\lim_{x\to a^-}f(x)$.

Outra coisa que vale ser ressaltada é que para o limite bilateral $\lim_{x\to a}f(x)$ existir, os laterais devem ser iguais $\lim_{x\to a^+}f(x) =\lim_{x\to a^-}f(x)$

Função Contínua:

Para uma função ser contínua ela deve obedecer a 3 requisitos, sendo eles:

1) A função deve ser definida no ponto a qual a continuidade está sendo estudada.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: f(a) = c$

2) Os limites laterais devem ser iguais;

$\: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \lim_{x\to a^+} f(x) = \lim_{x\to a^ - } f(x)$

3) O limite bilateral deve ser igual ao valor da função definida no ponto estudado.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \lim_{x\to a} f(a) = f(a)$

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Tendo feito a recapitulação, vamos iniciar os cálculos solicitados nos itens.

• Item a)

Para este primeiro item, devemos calcular o limite da função quando x tende a 1 pela direita. Como foi dito anteriormente, quando x se aproxima pela direita de 1, significa dizer que x se aproxima por valores maiores que 1. Portanto a função do limite será aquela que está definida para valores maiores que 1 (x > 1).

$\: \: \: \lim_{x\to 1^+}f(x) \: \to \: \lim_{x\to 1^+} \frac{1}{x} - 3 + x$

Substituindo o valor a qual o x tende:

$\lim_{x\to 1^+} \frac{1}{x} - 3 + x \: \to \: \lim_{x\to 1^+} \frac{1}{1} - 3 + 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \lim_{x\to 1^+} 1 - 3 + 1 \: \: \to \: \lim_{x\to 1^+} - 3 \: \to \: - 3\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Portanto o limite lateral de x tendendo a 1 pela direita é igual a -3.

• Item b):

A lógica do item b) é a mesma do item a), a única coisa que muda é o limite lateral, já que x tende a 1 pela esquerda, ou seja, valores menores que 1 (x < 1). A função que é definida para esta restrição é a que devemos usar para o cálculo do limite.

$\: \: \: \lim_{x\to 1^ - }f(x) \: \to \: \lim_{x\to 1^ - } \frac{x {}^{3} - 1 }{a(x - 1)}$

Se substituirmos o valor a qual o x tende neste momento, uma indeterminação será gerada, portanto vamos utilizar-se da fatoração do numerador em produtos notáveis.

$\lim_{x\to 1^ - } \frac{ \cancel{(x - 1)}.(x - 1) {}^{2} }{a \cancel{(x - 1)}} \: \to \:\lim_{x\to 1^ - } \frac{(x - 1) {}^{2} }{a}$

Certamente sumimos com a indeterminação, portanto podemos substituir o valor.

$\lim_{x\to 1^ - } \frac{(x - 1) {}^{2} }{a} \: \to \: \lim_{x\to 1^ - } \frac{( - 1 - 1) {}^{2} }{a} \\ \\ \lim_{x\to 1^ - } \frac{( - 2) {}^{2} }{a} \: \to \: \lim_{x\to 1^ - } \frac{2}{a} \: \to \: \boxed{\frac{2}{a}} \: \: \: \: \: \:$

Este é o valor do limite lateral a esquerda de 1.

• Item c):

Na recapitulação, foi citado que para o limite bilateral existir, os laterais devem ser iguais.

$\lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^ - } f(x) \: \to \: - 3 = \frac{2}{a} \\ \\a.( - 3) = 2 \: \to \: \boxed{ a = - \frac{2}{ 3} }$

Consequentemente encontramos o valor de a.

• Item d):

Primeiro devemos analisar se a função é definida no ponto x = 1, para determinar isto, basta observar a função dada no enunciado. Temos que quando x = 1, f(x) = b + 4, portanto:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: f(1) = b + 4$

Em seguida, os limites laterais devem ser iguais:

$\lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^ - } f(x) \: \to \: - 3 = \frac{2}{a} , \: \: mas \: a = - \frac{2}{3} \\ \\ - 3 = \frac{2}{ - \frac{2}{3} } \: \: \to \: \: \boxed{- 3 = - 3} \: \: \: \: \: \: \:$

Por último, a função definida deve ser igual ao limite bilateral, então:

$f(1) = \lim_{x\to 1} f(x) \: \: \to \: \: b + 4 = - 3 \\ \\ b = - 3 - 4 \: \: \to \: \: \boxed{b = - 7}$

Espero ter ajudado

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