Question

Tangente dos ângulos notáveis, Me expliquem o processo que aconteceu com as raizes, bem detalhadamente pq tenho muita dificuldade porfavor!!! Pq ele colocou uma raiz de 3 / 2 no h? Como o 1 apareceu ali? Me expliquem tudo porfavor

Answer 1

Tudo é explicado levado em consideração alguns conceitos:

• Relações trigonométricas no triângulo retângulo.
• ângulos notáveis (30°,45° e 60°)
• racionalização de radicais.

h vale x√3/2 porque:

tg60° = catego oposto / hipotenusa

√3 = h / (x/2)

h = x√3/2

O 1 aparecéu ali porque racionalizando fica mais fácil operar.

Racionalizar é multiplicar a razão por √3/√3

atte Colossoblack

Answer 2

Resposta:

$tg(30)=\dfrac{\sqrt{3} }{3}$                              $tg(60)=\sqrt{3}$

Explicação passo a passo:

Para encontrar os valores de tg (60º) e de tg (30º) vamos usar o

triângulo retângulo correspondente à metade do lado direito do triângulo

equilátero.

Observação 1 → Triângulo equilátero

Tem três lados de igual dimensão. E tem os três ângulos internos iguais

entre si e de amplitude 60º.

Porque em qualquer triângulo a lados iguais opõem-se ângulos iguais

( e vice versa )

Observação 2 → Altura do triângulo equilátero e a base

A altura num triângulo equilátero, tirada do vértice superior para a base ,

é perpendicular à base e divide - a em dois segmentos de reta iguais

( o "x/2" e o outro "x/2" )

Observação 3 → Triângulo retângulo.

Primeiro lugar prova-se que a altura do triângulo equilátero é

perpendicular à base.

Se é perpendicular forma um ângulo de 90º , reto com a base.

Dando origem a um triângulo retângulo.

As relações trigonométricas : seno , cosseno , tangente ( e outras ) são

referentes só a ângulos agudos internos em triângulos retângulos.

Observação 4 → Tangente de um angulo agudo ( triângulo retângulo )

$tg(x) =\dfrac{cateto....oposto}{cateto....ajacente}$

Cálculo da expressão que dá a altura  ( h )

Usando o Teorema de Pitágoras

$x^2=(\dfrac{x}{2})^2+h^2$

$x^2=\dfrac{x^2}{2^2}+h^2$

$x^2-\dfrac{x^2}{4} =h^2$

$\dfrac{x^2}{1} -\dfrac{x^2}{4} =\dfrac{h^2}{1}$

Multiplicar numeradores e denominadores por valores para obter

denominadores todos iguais

$\dfrac{4*x^2}{4*1} -\dfrac{x^2}{4} =\dfrac{4*h^2}{1*4}$

Formalmente "retirámos" os denominadores todos iguais

$4x^2-x^2=4h^2$

$4h^2=4x^2-x^2$      trocar membros da equação não muda sinais

$4h^2=3x^2$

$(4h^2):4=(3x^2):4$

$h^2=\dfrac{3}{4} x^2$

$h=\sqrt{\dfrac{3}{4} *x^2} = \sqrt{\dfrac{3}{4} }*\sqrt{x^2} =\dfrac{\sqrt{3} }{\sqrt{4} } *x$

$h=\dfrac{x\sqrt{3} }{2}$

Cálculo de tangente de 30º

$tg(30)=\dfrac{\dfrac{x}{2} }{h}$

$tg(30)=\dfrac{\dfrac{x}{2} }{\dfrac{x\sqrt{3} }{2} }$

Cálculos auxiliares

${\dfrac{x}{2} }:\dfrac{x\sqrt{3} }{2} }={\dfrac{x}{2} }*\dfrac{2}{x\sqrt{3} } =\dfrac{x*2}{2*x*\sqrt{3} }$

Como só existem multiplicações no numerador e no denominador,

podemos dividir ambos por "2x".

E "2x" não é zero porque é o dobro da dimensão de um lado.

$=\dfrac{2x:2x}{(2x : 2x)*\sqrt{3} }=\dfrac{1}{\sqrt{3} }$

Para já , pode perceber de onde " vem o 1 "

Observação 5 → Porque se racionaliza denominadores?

Repare na operação de dividir

$\dfrac{1}{\sqrt{3} } =\dfrac{1}{1,7320508075688772935274463415059...}$

Torna-se mais prático fazer com que o denominador seja um número

racional, muitas vezes inteiro.

Observação 6 → Racionalizar denominadores

O caso mais simples é quando o denominador é uma única raiz quadrada

de algo.

Para se racionalizar o denominador, multiplica-se ambos os termos da

fração, aqui, por $\sqrt{3}$

$\dfrac{1*\sqrt{3} }{\sqrt{3}*\sqrt{3} } =\dfrac{\sqrt{3} }{(\sqrt{3})^2 } =\dfrac{\sqrt{3} }{{3} }$

$tg(30)=\dfrac{\sqrt{3} }{3}$      c.q.d.

Cálculo de tangente de 60º

$tg(60)=\dfrac{h}{\dfrac{x}{2} }$

$tg(60)=\dfrac{\dfrac{x\sqrt{3} }{2} }{\dfrac{x}{2} }$

Cálculos auxiliares

${\dfrac{x\sqrt{3} }{2} }:\dfrac{x}{2}={\dfrac{x\sqrt{3} }{2} }*\dfrac{2}{x} =\dfrac{2x\sqrt{3} }{2x}$

Como só existem multiplicações no numerador e no denominador,

podemos dividir ambos por "2x".

E "2x" não é zero porque é o dobro da dimensão de um lado.

$tg(60)=\sqrt{3}$   c.q.d.

Bons estudos.

-----------------

( * )  multiplicação        ( : ) divisão     ( c.q.d. ) como queríamos demonstrar

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.