Question

Qual a diferença entre esporte e desporto?

Answer 1

Se você procurar no dicionário verá que desporto aparece como sinônimo de esporte. 

Na verdade, ambas vêm da palavra inglesa "sport", que significa divertimento. 

Na prática, a palavra esporte ficou mais condicionada as práticas oficiais de atividades físicas normatizadas (com regras) e desporto emprega-se como prática de exercícios próprios para desenvolver o vigor e a agilidade ou um 
processo de aperfeiçoamento físico e de educação do espírito; divertimento; para distração; sem obrigação. 

Mas em geral usamos "esporte" para ambas situações.

Answer 2

Desporto e Esporte na verdade referem-se a mesma "coisa".

O esporte é uma atividade lúdica, coletiva ou individual, destinada à diversão ou à confraternização. Quem pratica uma modalidade esportiva visa, sobretudo, espairecer  ou/e revigorar-se.

O desporto também é chamado de esporte, trata-se de uma atividade física sujeita a regulamentos determinados e que normalmente visa a competição entre praticantes.

Bons estudos!