Question

O polinômio de Taylor de grau 1 de f(X) ao redor de c é dado por...

Answer 1

De acordo com os cálculos abaixo, conclui-se que o Polinómio de Taylor de Grau 1 da função  $f(x)=(1-x)^{-2}$  ao redor do ponto zero é dado por  $P_1(x)=1+2x$ .

Para resolver este exercício, devemos relembrar a forma do Polinómio de Taylor de Grau n ao redor do ponto $x=c$:$P_n(x)=f(c)+\dfrac{f'(c)}{1!}(x-c)+\dfrac{f''(c)}{2!}(x-c)^2+...+\dfrac{f^{n}'(c)}{n!}(x-c)^n$

Quando estudamos o Polinómio ao redor do ponto zero, isto é, quando $c=0$, estamos perante um caso especial do Polinómio de Taylor, o chamado Polinómio de Maclaurin.

Sabendo isto, vamos passar aos cálculos.

Como queremos o polinómio de Grau 1, a fórmula do Polinómio será:

$P_1(x)=f(c)+\dfrac{f'(c)}{1!}(x-c)$

Como sabemos que  $f(x)=(1-x)^{-2}$  e que  $c=0$ , podemos calcular os valores dos termos do Polinómio de que vamos precisar:

$f(0)=(1-0)^{-2}=1^{-2}=1$

    $f'(x)=\left((1-x)^{-2}\right)'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=-2\times(1-x)'\times(1-x)^{-2-1}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=-2\times(0-1)\times(1-x)^{-3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=-2\times(-1)\times(1-x)^{-3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=2\times(1-x)^{-3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=\dfrac{2}{(1-x)^3}$

$f'(0)=\dfrac{2}{(1-0)^3}=\dfrac{2}{1^3}=\dfrac{2}{1}=2$

Com estes valores, podemos determinar a expressão do Polinómio:

    $P_1(x)=f(c)+\dfrac{f'(c)}{1!}(x-c)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow P_1(x)=f(0)+\dfrac{f'(0)}{1}(x-0)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow P_1(x)=f(0)+f'(0)\times x\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow P_1(x)=1+2\times x\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow P_1(x)=1+2x$

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