Question

. Faça uma estimativa inferior da área entre o gráfico da função
f(x) = x³ – x + 1 e o eixo x, limitado pelas retas x=0 e x=1. Utilize 5 retângulos
com base 0,2. O valor estimado da área é:

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, foi possível observar que o resultado é dado por uma superestimação da Área real $\boxed{\bf A_{real}=\frac{3}{4}\:u.a}$, sendo o valor da aproximação $\boxed{\bf A_{aprox.}\approx \frac{19}{25}\:u.a}$

Explicação

Temos a seguinte função:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\: \: \: \: \: \: \boxed{\bf f(x) = x {}^{3} - x + 1}$

O objetivo desta questão é calcularmos a área através de estamitiva, ou seja, aproximação.

• Soma de Riemann:

Para solucionar esta questão, podemos usar um método chamado de Soma de Riemann, que trata-se da aproximação de uma área (X), através da soma da área de retângulos.

A relação usada para esta estimação é dada :

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\boxed{ \bf A = \sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x}$

• Onde: $\bf\Delta x$ representa a base do retângulo e é calculado por $\bf\Delta x = \frac{b-a}{n}$ e $\bf x_i$ representa os valores do intervalo, sendo dado por $\bf x_i = a + \Delta x\cdot i$.

• Superestimação e Subestimaçao:

Como a questão não fala como deve ser a disposição dos retângulos, vamos usar a Soma de Riemann a direita, ou seja, os retângulos devem tocar a curva com seus cantos superiores direitos.

• Como este método é de aproximação, então os valores obtidos serão ligeiramente maiores ou menores que o valor real.

Sendo S a soma de Riemann e A a área real, temos que quando S > A, há uma superestimação e quando S < A, uma subestimação.

• Organização dos dados / Cálculo:

Pelo enunciado, sabemos que o intervalo é $\bf [0,1]$, já que a função é limitada por funções em x. O valor de n que representa as partições (retângulos) é igual a 5 e $\bf\Delta x=0,2$.

Substituindo os dados na relação de Riemann.

$A = \sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x \\ \\ A = \sum_{i=1}^{n}f \left(a + \frac{b - a}{n} i \right)\frac{b - a}{n} \\ \\ A = \sum_{i=1}^{5}\: f \left(0 + \frac{1- 0}{5} i \right)\frac{1 - 0}{5} \\ \\ A = \sum_{i=1}^{5}\: f \left(\frac{i}{5} \right)\frac{1 }{5}$

Como i representa a posição dos valores do intervalo, e são 5 valores, então:

$A = f \left( \frac{1}{5} \right) \frac{1}{5} + f \left( \frac{2}{5} \right) \frac{1}{5} + f \left( \frac{3}{5} \right) \frac{1}{5} + f \left( \frac{4}{5} \right) \frac{1}{5} + f \left( \frac{5}{5} \right) \frac{1}{5}$

Teremos então que calcular o valor da função para cada um desses valores de x e depois substituir na relação acima.

$f\left( \frac{1}{5} \right) = \left( \frac{1}{5} \right) ^{3} - \left( \frac{1}{5} \right) + 1 = \frac{101}{125}\\ \\ f \left( \frac{2}{5} \right) = \left( \frac{2}{5} \right) ^{3} - \left( \frac{2}{5} \right) + 1 = \frac{83}{125} \\ \\ f \left( \frac{ 3}{5} \right) = \left( \frac{3}{5} \right) ^{3} - \left( \frac{3}{5} \right) + 1 = \frac{77}{125} \\ \\ f \left( \frac{4}{5} \right) = \left( \frac{4}{5} \right) ^{3} - \left( \frac{4}{5} \right) + 1 = \frac{89}{125} \\ \\ f \left( \frac{5}{5} \right) = \left( \frac{5}{5} \right) ^{3} - \left( \frac{5}{5} \right) + 1 =1$

Substituindo os dados na relação da área:

$[tex]A = \frac{101}{125} .\frac{1}{5} + \frac{83}{125} . \frac{1}{5} + \frac{77}{125} .\frac{1}{5} + \frac{89}{125} \frac{1}{5} + 1. \frac{1}{5} \\ \\ \boxed{ \bf A = \frac{19}{25} \: u.a \: \: ou \: \: 0.76 \: u.a}$

Portanto este é o valor da área através de um método aproximação.

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Só por motivos de curiosidade, vamos fazer este mesmo cálculo, mas usando a integral em si.

$\int_{0}^{1} x {}^{3} - x + 1 \: dx = \left(\frac{x {}^{4} }{4} - \frac{x {}^{2} }{2} + x \right)\bigg | _{0}^{1} \\ \\ \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \boxed{\bf \frac{3}{4} \:u.a \: \: ou \: \: 0.75\: u.a}$

Se você comparar, os valores obtidos pelos dois métodos foram bem parecidos.

Espero ter ajudado

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