Question

como descobrir os valores do cateto e da hipotenusa, sendo que so tem o valor de um dos catedos e da altura do trianglo retangulo?

Answer 1

Denominando:
a = hipotenusa
b = cateto
c = cateto
h = altura do triângulo relativa à hipotenusa
m = projeção do cateto b sobre a hipotenusa
n =  projeção do cateto c sobre a hipotenusa

Observe que m + n = a.

A altura h divide nosso triângulo em outros dois triângulos retângulos menores cujas hipotenusas são os catetos b e c.
Suponhamos que sejam dados b e h. Temos então:

b² = m² + h² 
m² = b² - h²
m = √(b² - h²)

Das relações do triângulo retângulo, temos que:

h² = m.n
h² = [√(b² - h²)].n
n = h²/√(b² - h²)

Como m + n = a, encontramos a hipotenusa:

a = m + n = √(b² - h²) + h²/√(b² - h²)
a = √(b² - h²) + h².[√(b² - h²)]/(b² - h²)
a = [√(b² - h²)].[1 + h²/(b² - h²)]
a = [√(b² - h²)].[(b² - h² + h²)/(b² - h²)]
a = b²√(b² - h²)/(b² - h²)

Finalmente, o cateto c é obtido por Pitágoras:

a² = b² + c²
[b²√(b² - h²)/(b² - h²)]² = b² + c²
b^4.(b² - h²)/(b² - h²)² = b² + c²
b^4/(b² - h²) = b² + c²
c² = b^4/(b² - h²) - b²
c² = (b^4 - b^4 + h²b²)/(b² - h²)
c² = h²b²/(b² - h²)
c = √[h²b²/(b² - h²)]
c = hb/√(b² - h²)
c = hb√(b² - h²)/(b² - h²)

Portanto:
a = b²√(b² - h²)/(b² - h²)
c = hb√(b² - h²)/(b² - h²).