Matéria: Matemática
Autor: Anônimo
Perguntado 3 anos atrás

calcule o volume abaixo do cone z=raízx2+y2 e acima do disco D dado por x2+y2<=4

Respostas

respondido por: Vicktoras

Por meio dos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que o volume entre estas superfícies é $\boxed{\bf V = \frac{16\pi}{3}\:\:u.v}$

Explicação

Temos as seguintes relações:

$z = \sqrt{x ^{2} + y ^{2} } \:\: e\:\: x {}^{2} + y {}^{2} \leq 4$

O objetivo é determinarmos o volume do sólido formado entre estas relações acima.

Integral dupla:

Como estamos lidando com funções de duas variáveis, vamos utilizar a integração dupla para encontrar o volume deste sólido. Sendo ela:

$\: \: \: \: \:\: \: \: \boxed{V = \int\int_R f(x,y)dA }\: \: \: \\$

Onde R é a região de integração, dA é a diferencial de área e f(x,y) a função a qual queremos integrar para descobrir o volume em um certo intervalo.

Vale ressaltar que é também é possível utilizar a integração tripla para encontrar o volume buscado, além de ser mais simples, a relação para o cálculo é análoga.

$\: \: \: \: \: \boxed{V = \int \int\int_R f(x,y ,z ) \: dV } \: \: \: \\$

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Região de integração:

Como foi dito, a integral é calculada em cima de uma região, isto é, as dimensões que delimitam este sólido formado.

Variação em x:

Se você observar a imagem anexada na resposta, é possivel ver que o disco $\bf x^2 + y^2 \leq4$ , representa basicamente uma circunferência, onde o raio representa variação.

$x {}^{2} + y {}^{2} =4 \: \: \to \: \: r {}^{2} = 4 \: \: \to \: \: r = \pm2 \\$

Variação em y:

O disco é formado por dois semicírculos, uma na parte positiva e outro na negativa, isto é, as limitações em y. Para encontrar as equações, basta isolar y da equação citada acima.

$x {}^{2} + y {}^{2} = 4\:\to\:\:\to\:y =\pm\sqrt{4 - x {}^{2} }$

Portanto, consolidamos que a região de integração é dada por:

$\boxed{\bf R = \{ (x,y) \: / - 2 \leqslant x \leqslant 2, \: - \sqrt{4 - x {}^{2} } \leqslant y \leqslant \sqrt{4 - x {}^{2} } \}} \\$

Com estes dados obtidos, vamos montar a integral dupla, lembrando que a função $\bf f(x,y)$ é dada pela equação do plano, uma vez que $\bf f(x,y) = z$ .

$\:\:\:\:\:V = \int_{ - 2}^{2} \int_{ - \sqrt{4 - x {}^{2} } }^{ \sqrt{4 - x {}^{2} } } \sqrt{x {}^{2} } + y {}^{2} \: dydx\\$

Note que resolver esta integral não é simples, pois a expressões possuem um certo grau de complexidade, podemos então buscar esta integral em outro sistema de coordenadas, como por exemplo as polares.

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Coordenadas polares $(r,\:\theta)$ :

Vamos usar as coordenadas polares para facilitar o cálculo através de substituições.

Temos as seguintes correlações de coordenadas cartesianas em coordenadas polares:

$\begin{cases}r {}^{2} = x {}^{2} + y {}^{2} \\ x = r \cdot \cos( \theta) \end{cases}\:\:\:\:\begin{cases} y = r \cdot \sin( \theta) \\dA = rdrd\theta\end{cases}$

Assim como fizemos anteriormente, devemos buscar as variações, só que neste caso é um pouco diferente, já que elas se concentram apenas no raio e no ângulo de abertura.

Variação do raio:

Já determimos que o raio do disco é quem delimita x, consequentemente delimita r também. Como neste caso estamos trabalhando com o raio em si, ele não pode admitir valores negativos.

Variação do ângulo:

O disco faz uma volta completa, ou seja, o ângulo de abertura é 2π.

Logo, a região de integração em coordenadas polares é dada por:

$\boxed{\bf R = \{(r,\theta) \: / \: 0 \leqslant r \leqslant 2, \: 0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi\} }\\$

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Tendo organizado estes dados, vamos finalmente calcular a integral em si.

$V = \int_{ - 2}^{2}\int_{ - \sqrt{4 - x {}^{2} } }^{ \sqrt{4 - x {}^{2} } } \sqrt{x {}^{2} + y {}^{2} } \: dydx\\ \\ V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r \: rdrd \theta \:\:\to\:\: V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}r {}^{2} \: drd \theta$