Question

18) (FGV-RJ) O polinômio P(x) = ax5 + bx4 + 1 é divisível por D(x) = (x – 1)2.
a) Determine os coeficientes a e b.
b) Encontre o quociente da divisão de P(x) por D(x).

Answer 1

a) P(x)=ax^5+bx^4+1 é divisível por D(x)=(x-1)^2 então P(1)=0 assim temos que

 a+b+1=0 (I)
Também temos que a derivada de P(x) é divisível por (x-1), isto é,  P'(x)=5ax^4+4bx^3 é divisível por (x-1) logo P'(1)=0 então

5a+4b=0  (II)

Agora b=-5a/4 e substituindo em (i) temos que a-5a/4=-1 logo -a/4=-1 então a=4 logo b=-5.

Assim P(x)=4x^5-5x^4+1

b) agora fazendo o quociente temos

4x^5-5x^4+1            | (x^2-2x+1)
4x^5-8x^4+4x^3         4x^3+3x^2+2x+1
        3x^4-4x^3+1
        3x^4-6x^3+3x^2
                 2x^3-3x^2+1
                 2x^3-4x^2+2x
                           x^2-2x+1
                            x^2-2x+1
                                   0
Logo o quocientes é 4x^3+3x^2+2x+1.