Question

Seja ABC um triângulo de vértices A 5 (1; 2), B 5 (3; 1) e C 5 (6; 4), conforme o mostrado na figura abaixo Determine a medida da altura relativa ao vértice C.A) 225B) 49C) 9√55D) 3√25E) 4√

Answer 1

Com os cálculo realizado concluímos que a medida da altura relativa ao vértice é de $\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{HC} =\dfrac{9 \: \sqrt{5} }{ 5 } } }$ e que corresponde alternativa correta a letra C.

Declividade ou coeficiente angular de uma reta:

$\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf m =\dfrac{y - y_0}{x - x_0} }}$

Equação da reta quando são conhecidos um ponto $\textstyle \sf \sf P\: (\: x, y \: )$ e a declividade de $\textstyle \sf \sf m$ da reta.

$\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf y -y_0 = m \cdot ( x -x_0) }}$

Equação da reta geral:

Toda reta do plano possui uma equação da forma:

$\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf ax +by +c = 0 }}$

Um ponto $\textstyle \sf \sf P \: (\: x_P, y_P \:)$ e uma reta $\textstyle \sf \sf r$ de equação $\textstyle \sf \sf ax + by+ c$, o cálculo da distância de $\textstyle \sf \sf P ~ a ~ r.$

$\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \text { \sf d =\dfrac{\mid ax_P + by_P +c \mid}{\sqrt{a^2 + b^2} } }}}$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf A \:( \: 1,2\: ) \\ \\\sf B \:( \: 3, 1\: ) \\ \\\sf C \:( \: 6,4\: ) \end{cases} } }$

Analisando a figura que está em anexo , temos:

Primeiramente devemos determinar o coeficiente angular da reta r.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ m = \dfrac{y - y_0}{x - x_0} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ m = \dfrac{1 - 2}{3 - 1} = -\:\dfrac{1}{2} } }$

Agora devemos determinar a equação geral da reta usando a declividade da reta.

$\large \displaystyle \mathsf{ y-y_0 = m\cdot (x -x_0) }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y-2 = -\: \dfrac{1}{2} \cdot (x -1) } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y-2 = -\: \dfrac{1}{2}\; x + \dfrac{1}{2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y = -\: \dfrac{1}{2}\; x + \dfrac{1}{2} +2 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{2y}{2} = -\: \dfrac{1}{2}\; x + \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{2y}{2} = -\: \dfrac{1}{2}\; x + \dfrac{5}{2} } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 2y = -x +5 }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x +2y - 5 = 0 }$

Agora devemos determinar a medida da altura relativa ao vértice.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d =\dfrac{\mid ax_P + by_P +c \mid}{\sqrt{a^2 + b^2} } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{HC} =\dfrac{\mid 1 \cdot 6 +2\cdot 4 - 5 \mid}{\sqrt{1^2 + (-2)^2} } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{HC} =\dfrac{\mid 6 +8 - 5 \mid}{\sqrt{1 + 4} } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{HC} =\dfrac{\mid 14 - 5 \mid}{\sqrt{5} } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{HC} =\dfrac{9}{\sqrt{5} } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{HC} =\dfrac{9}{\sqrt{5} } \cdot \dfrac{\sqrt{5} }{ \sqrt{5} } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{HC} =\dfrac{9\: \sqrt{5} }{\sqrt{25} } } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf d_{HC} =\dfrac{9 \:\sqrt{5} }{5 } }$

Alternativa correta é a letra C.

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