Question

calcule, se existir, a inversa da matriz A=(15673).
ME AJUDEM!!!!​

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, conseguimos concluir que a matriz inversa buscada é:

$\: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\: \: \: \: \: \: \boxed{\bf A {}^{ - 1} = \begin{bmatrix}\bf 1& \bf- 2\\\bf - \frac{7}{3}& \bf 5\end{bmatrix}}$

Explicação:

Temos a seguinte matriz:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: A =\begin{bmatrix}15&6\\7&3\end{bmatrix}_{ \tiny(2 { \: \sf{x}} \: 2)}$

O objetivo é determinarmos a matriz inversa, caso a mesma venha a existir.

• Existência de inversa:

Uma matriz possuirá inversa, se e somente se o determinante dela for diferente de zero.

$\: \: \: \: \:\:\:\:\boxed{A^{-1} =\exists \:\Longleftrightarrow \: \det(A) \neq 0}$

Portanto vamos iniciar calculando o determinante desta matriz A dada no enunciado.

• Lembrando que o determinante é igual a subtração do produto do elementos da diagonal primária com a secundária.

$A =\begin{bmatrix} \red{15}& \blue{6}\\ \blue7& \red{3}\end{bmatrix} \: \to \: \begin{cases} \det(A) = 15.3 - 7 .6 \\ \det(A) = 45 - 42 \\ \det(A) = 3 \neq0 \: \to \: \exists \: A^{-1} \end{cases} \\ \\ \: \rm legenda \to \begin{cases}\red\bullet :Diagonal \: principal\\ \blue \bullet : Diagonal \: secund\acute{a}ria\end{cases}$

Portanto sabemos que a matriz possuíra inversa.

• Matriz inversa:

A matriz inversa é dada por uma pequena equação matricial.

• Onde faz-se a multiplicação da matriz A com sua inversa, resultando em uma matriz indetidade com a mesma ordem.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \bf A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n}$

Lembrando que uma matriz indetidade é aquela onde a diagonal principal é composta apenas por um e o restante é zero.

$\underbrace{I =\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}_ {\tiny(2{ \sf x}2)}, \:I =\begin{bmatrix}1&0 &0\\0&1 &0 \\ 0&0 &1\end{bmatrix}_ {\tiny(3{ \sf x}3)} \: \cdots}_{matrizes \: \: identidade}$

________________________________

Tendo feito esta breve introdução, vamos partir para o cálculo em si, isto é, substituir os dados.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \begin{bmatrix}15&6\\7&3\end{bmatrix}\cdot A^{-1} = \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$

A inversa é dada por uma pequena suposição, isto, vamos associar variáveis a cada um dos termos dessa matriz, onde a quantidade dependerá da ordem da mesma. Logo:

$\: \: \: \: \begin{bmatrix}15&6\\7&3\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}</p><p>$

A multiplicação de matrizes neste caso é possível, uma vez que o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda.

• Vale ressaltar que a multiplicação é dada pelo produto da linha por coluna.

$\begin{bmatrix}15.a + 6c&15.b + 6.d\\7.a + 3.c&7.b +3.d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0\\0& 1\end{bmatrix}$

Na igualdade matricial, basta igualar cada termo com o seu respectivo na outra matriz.

$\begin{bmatrix}15a + 6c&15b + 6d\\7a + 3c&7b +3d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0\\0& 1\end{bmatrix} \\ \\ \begin{cases}15a + 6c = 1 \\ 7a + 3c = 0 \end{cases} \: \: e \: \: \begin{cases}15b+ 6d= 0\\ 7b + 3d = 1\end{cases}$

Agora basta resolver os sistemas de equações gerados e assim descobrir os termos da matriz inversa.

• Primeiro sistema:

$\begin{cases}15a + 6c = 1 \\ 7a + 3c = 0 . \: \: ( - 2)\end{cases} \: \: \: \begin{cases}15a + 6c = 1 \\ - 14a - 6c = 0 \end{cases} \\ \\ 15a - 14a + 6c - 6c = 1 + 0 \\ \boxed{a = 1} \\ \\ 15a + 6c = 1 \: \: \to \: \: 6c = 1 - 15 \\ 6c = - 14 \: \: \to \: \: \boxed{ c = - \frac{7}{3} }$

• Segundo sistema:

$\begin{cases}15b+ 6d= 0\\ 7b + 3d = 1 \: \: .( - 2)\end{cases} \: \: \: \begin{cases}15b+ 6d= 0\\ - 14b - 6d = - 2\end{cases} \\ \\ 15b - 14b+ 6d -6d = 0 - 2 \\ \boxed{ b = - 2} \\ \\ 15b + 6d = 0 \: \: \to \: \: 6d = -15.( - 2) \\ 6d = - 30 \: \: \to \: \: \boxed{d = 5}$

Portanto, concluímos que a matriz inversa é:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: A {}^{ - 1} = \begin{bmatrix}1& - 2\\ - \frac{7}{3}& 5\end{bmatrix}$

Espero ter ajudado.

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