Question

determine a soma dos multiplos de 5 existentes entre 346 e 2016?

Answer 1

Primeiramente devemos achar o primeiro e o último múltiplos. Portanto, o primeiro é 350 e o último 2015.

Jogando na fórmula de termo de PA para descobrirmos quantos termos existem entre esses números.

an = a1 + (n - 1).r
2015 = 350 + (n - 1).5
2015 - 350 = 5n - 5 
1665 + 5 = 5n
1670 = 5n
n =334.

Como descobrimos o número de termos, agora é só somar.

S = (a1 + an).n /2
S = (350 + 2015).334/2
S = (2365).334/2
S = 789910/2
S = 394955

Answer 2

Vamos lá.

Pede-se para determinar a soma dos múltiplos de 5 existentes entre 346 e 2016.
Veja que iremos ter uma PA, cujo primeiro termo (a1) será o primeiro número, que é múltiplo de 5, logo após o número 346 e que vai ser o número 350. E o último termo (an), imediatamente antes de 2.016, que é múltiplo de 5, será o número 2.015. E a razão da PA será 5, pois os múltiplos de 5 ocorrem de 5 em 5 unidades.
Assim, temos uma PA com a seguinte conformação:

(350; 355; 360; 365; ...... 2.015)

Agora vamos, pela fórmula do termo geral de uma PA, calcular o número de termos. A fórmula do termo geral é esta:

an = a₁ + (n-1)*r

Na fórmula acima, substituiremos "an" por 2015 (que é o último termo) e substituiremos "a1" por "350", que é o primeiro termo. Finalmente, substituiremos "r' por "5", que é a razão da PA.
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

2015 = 350 + (n-1)*5
2015 = 350 + 5*n - 5*1 --- ou apenas:
2015 = 350 + 5n - 5 --- ou ainda, ordenando:
2015 = 350 - 5 + 5n
2015 = 345 + 5n ---- passando 345 para o 1º membro, teremos:
2015 - 345 = 5n
1.670 = 5n ---- vamos apenas inverter, ficando:
5n = 1670
n = 1670/5
n = 334 <--- Este é o número de termos, que é múltiplo de 5, que há entre 346 e 2016.

Agora vamos para o que está sendo pedido, que é a soma desses termos. A fórmula da soma dos termos de uma PA é esta:

Sn = (a₁ + an)*n/2

Na fórmula acima, substituiremos "Sn" por "S₃₃₄", pois há 334 termos envolvidos nessa soma. Por sua vez, substituiremos "a₁" por 350 e "an" por 2015. E, finalmente, substituiremos "n" por 334, que é o número de termos antes encontrado.
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

S₃₄₄ = (350 + 2015)*334/2
S₃₃₄ = (2365)*167 --- ou apenas:
S₃₃₄ = 2365*167
S₃₃₄ = 394.955 <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.