Question

Resolva a equação x - x/4 + x/16 - x/64 + ... = 8 onde o 1° membro é a soma dos termos de uma P.G. infinita.

Answer 1

Vmos passo a passo

Para uma PG infinita
          Sn = a1/(1 - q) 

Na PG em estudo
         a1 = x
          q = 1/4 (x/64 : z/16 = x/16 : x/4 = x/4 : x = 1/4
         
            Sn = x/(1 - 1/4)
                  = x/3/4
                                       Sn = 4x/3

Do enunciado
                          4x/3 = 8
                          4x = 24
                            x = 24/4
                                                        x = 6

Answer 2

Primeiro observe que se 0<a<1 então $1+a+a^2+a^3+......= \frac{1}{1-a}$
Assim no exercício temos
$x- \frac{x}{4}+ \frac{x}{16}- \frac{x}{64}+.......=8\\ x- \frac{x}{4}+ \frac{x}{4^2}- \frac{x}{4^3}+.......=8\\ (x+ \frac{x}{4^2}+ \frac{x}{4^4}+....) -(\frac{x}{4}+\frac{x}{4^3}+\frac{x}{4^5}+.... )=8\\ x(1+ \frac{1}{4^2}+ \frac{1}{4^4}+....)- \frac{x}{4}(1+ \frac{x}{4^2}+\frac{1}{4^4}....) =8 (*)$
Assim precisamos conhecer a soma infinita
$1+ \frac{1}{4^2}+ \frac{1}{4^4}+....=1+ \frac{1}{4^2}+( \frac{1}{4^2} )^2+......= \frac{1}{1- \frac{1}{4^2} } = \frac{1}{1- \frac{1}{16} } = \frac{1}{ \frac{15}{16} }= \frac{16}{15}$pois estamos utilizando a fórmula inicial de acima.

Assim substituindo em (*) temos

$\frac{16}{15} x- \frac{x}{4}( \frac{16}{15} ) =8\\ \frac{16}{15} (x- \frac{x}{4} )=8\\ \frac{16}{15}( \frac{3x}{4} ) =8\\ \frac{4x}{5}=8 \\ x=10$