Question

Se x é um arco do 2° quadrante, com sen x = √3/2, calcule cos x + cos 2x + cos3x.

Answer 1

Após as resoluções concluímos que:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \cos \:{x} + \cos\:{2x} + \cos\: {3x} = 0 } }$

As relações entre os valores das funções trigonométricas de um mesmo arco são denominadas relações trigonométricas.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf \sin{x} = \dfrac{\sqrt{3} }{2} \\ \\ \sf cos\:{(x)} + \cos\:{(2x)} + \cos\: {(3x)} \end{cases} } }$

Ciclo trigonométrico:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{| c | c | c | c | } \sf Quadradante & \sf seno & \sf cosseno & \sf tangente \\\sf Primeiro & \sf + & \sf + & \sf + \\\sf Segundo & \sf + & \sf - & \sf - \\\sf Terceiro & \sf - & \sf - & \sf + \\\sf Quarto & \sf - & \sf + & \sf - \end{array} } }$

Aplicando a relação fundamental, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left( \dfrac{\sqrt{3} }{2} \right)^2 + \cos^2{x} = 1 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{3}{4} + \cos^2{x} = 1 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \cos^2{x} = 1 - \dfrac{3}{4} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \cos^2{x} = \dfrac{4}{4} - \dfrac{3}{4} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \cos^2{x} = \dfrac{1}{4} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \cos{x} = \pm \sqrt{\frac{1}{4} } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \cos{x} = \pm \dfrac{1 }{2} } }$

O cosseno no segundo quadrante é  negativo.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \cos{x} = -\: \dfrac{1 }{2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \theta = \arccos{ x} } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \theta = x = 120^\circ ~ ~ou ~ ~ \dfrac{2\pi}{3} }$

Substituindo na equação, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \cos \:{x} + \cos\:{2x} + \cos\: {3x} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \cos{ (120^\circ )} + \cos{ ( 2 \cdot 120^\circ )} +\cos{( 3 \cdot 120^\circ) }} }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \cos{ (120^\circ )} + \cos{ ( 240^\circ )} +\cos{( 360^\circ) }} }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ -\: \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} + 1 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ -\: \dfrac{2}{2} + 1 } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ - 1 + 1 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf 0 }$

Logo o valor da expressão é:

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \cos \:{x} + \cos\:{2x} + \cos\: {3x} = 0 }$

Mais conhecimento acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/12943355

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Answer 2

Resposta: $\cos x+\cos 2x+\cos 3x=0~\mathrm{(zero).}$

Explicação passo a passo:

Dados $x$ um arco do 2° quadrante e $\mathrm{sen\,}x=\dfrac{\sqrt{3}}{2},$ calcular o valor da expressão $\cos x+\cos 2x+\cos 3x.$

• Calculando $\cos x.$

Aplicando a relação trigonométrica fundamental, temos

$\cos^2 x+\mathrm{sen^2\,}x=1\\\\ \Longleftrightarrow\quad \cos^2 x=1-\mathrm{sen^2\,}x\\\\ \Longrightarrow\quad\cos^2 x=1-\Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)^{\!2}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\cos^2 x=1-\dfrac{3}{4}$

$\Longleftrightarrow\quad\cos^2 x=\dfrac{4-3}{4}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\cos^2 x=\dfrac{1}{4}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\cos x=\pm\,\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\cos x=\pm\, \dfrac{1}{2}$

Como x é do segundo quadrante, o cosseno é negativo:

$\Longrightarrow\quad\cos x=-\,\dfrac{1}{2}\qquad\mathrm{(i)}$

• Tomemos a expressão pedida e reescrevamos em termos de $\cos x.$

$E=\cos x+\cos 2x+\cos 3x$

Reescreva $x=2x-x$ e $3x=2x+x$, e a expressão fica

$=\cos(2x-x)+\cos 2x+\cos(2x+x)$

Expanda o cosseno da diferença e o cosseno da soma:

$=(\cos 2x\cos x+\mathrm{sen\,}2x\,\mathrm{sen\,}x)+\cos 2x+(\cos 2x\cos x-\mathrm{sen\,}2x\,\mathrm{sen\,}x)$

Os termos opostos se cancelam, e a expressão fica

$=\cos 2x\cos x+\cos 2x+\cos 2x\cos x\\\\ =2\cos 2x\cos x+\cos 2x$

Fatore o termo comum $\cos 2x$ em evidência, e finalmente chegamos a

$=\cos 2x\cdot (2\cos x+1)$

Portanto,

$\cos x+\cos 2x+\cos 3x=\cos 2x\cdot (2\cos x+1)\qquad\mathrm{(ii)}$

Substituindo no lado direito da igualdade acima o valor obtido para $\cos x,$ obtemos

$\cos x+\cos 2x+\cos 3x=\cos 2x\cdot \left[2\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)+1\right]\\\\\\ =\cos 2x\cdot (-1+1)\\\\ =\cos 2x\cdot (0)\\\\ =0~\mathrm{(zero)} \quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

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Bons estudos! :-)