Question

Dadas as retas L1 que passa por A(2,-1,1) e B(0,1,-1) e L2 que passa por e(2,0,-1) e D(2,1,-1).

a) Determine a equação geral do plano paralelo a L1 e L2 que passa pela origem

B) Determine a equação geral do plano que passa por B e é perpendicular a L1

Answer 1

Olá Lucas.
 
vamos determinar o vetor diretor de L1 e L2.

AB é vetor diretor de L1:

 AB = B - A

AB = (0, 1, -1) - ( 2, -1, 1)

AB= (0-2, 1+1, -1-1)

AB = (-2, 2, -2)

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CD é vetor diretor de L2:

CD = D-C

CD = (2, 1, -1) - (2, 0, -1)

CD = (2-2, 1-0, -1+1)

CD = (0, 1, 0)

------------------------------

A)

O plano terá direção formado por ABxCD ← Produto vetorial




$\\ ABXCD = det \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-2&2&-2\\0&1&0\end{array}\right] \\ \\ \\ ABXCD = det \left[\begin{array}{cc}2&-2\\1&0\\\end{array}\right] i-det \left[\begin{array}{cc}-2&-2\\0&0\\\end{array}\right] j+det \left[\begin{array}{cc}-2&2\\0&1\\\end{array}\right] k \\ \\ \\ ABXCD = 2i-0j-2k$

Teremos então:




nπ = (2, 0, -2)

O plano tera essa carascteristica:

π =  2x +0y -2z +d 

π = 2x -2z+d

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O plano passa rá na origem.

P = (0,0,0)

substituindo o P(0,0,0) e igualando a zero a eq:


$\\ 2x-2z+d = 0 \\ \\ 2*0-2*0+d=0 \\ \\ d = 0$

Então  o plano procurado será:


$\pi = 2x-2z$

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B)

Sabemos que:

Se L1 é perpendicular ap plano π

então:

O vetor diretor da reta L1 será = k*nπ

Achamos lá encima que:

O vetor diretor de L1 = AB

AB = (-2,2,-2)

e temos que AB = k*nπ

Fazendo k = 1 teremos que:

AB = nπ

logo, o plano π terá a seguinte característica




$\\ \pi = 2x+2y-2z+d$

Substituindo o ponto B = (0,1,-1) e igualando a eq a zero teremos:


$\\ 2x+2y-2z+d=0 \\ \\ 2*0+2*1-2(-1)+d=0 \\ \\ 0+2+2+d=0 \\ \\ d=-4$

∵


$\pi = 2x+2y-2z-4$

Answer 2

Olá, Lucas.

A) O vetor diretor de L1 é u = A - B = (2, -1, 1) - (0, 1, -1) = (2, -2, 2) = 2(1, -1, 1) ≡ (1, -1, 1).
O vetor diretor de L2 é v = C - D = (2, 0, -1) - (2, 1, -1) = (0, -1, 0).
O vetor normal w ao plano formado por L1 e L2 é obtido a partir do produto vetorial u × v, ou seja:

$w = u\times v=\begin{vmatrix}\hat i&\hat j&\hat k\\1&-1&1\\0&-1&0\end{vmatrix}=-\hat k+\hat i=(1,0,-1)$

O plano procurado deve passar pela origem.
O vetor diretor de uma reta que ligue a origem (0, 0, 0) a um ponto qualquer (x, y, z) pertencente ao plano procurado é dada por:

(x, y, z) - (0, 0, 0) = (x, y, z)

Este vetor diretor do plano procurado deve ser perpendicular ao vetor normal ao plano, w = (1, 0, -1), ou seja:

(x, y, z) · (1, 0, -1) = 0 ⇒ x - z = 0

Esta é a equação do plano paralelo a L1 e L2 que passa pela origem.


B) O vetor diretor da reta que contém B(0, 1, -1) é dado por:

u = (x, y, z) - (0, 1, -1) = (x, y - 1, z + 1)

Como o vetor diretor de L1 (obtido na letra "A"), v = (1, -1, 1), deve ser perpendicular ao plano procurado, o ponto B deve pertencer ao plano procurado e u é o vetor diretor da reta que passa pelo ponto B, então devemos ter:

u · v = 0 ⇒ (x, y - 1, z + 1) · (1, -1, 1) = 0 ⇒ x - y + 1 + z + 1 = 0 ⇒ x - y + z + 2 = 0

Esta é a equação do plano perpendicular a L1 que contém o ponto B.