Question

Se cossec x 4/3 e x E ao 1 quadrante qual calcule o valor de 4 sen ao quadrado x - 9 tg ao quadrado x​

Answer 1

Resposta:   4 sen² x − 9 tg² x = − 261/28.

Explicação passo a passo:

Dado cossec x = 4/3, calcular o valor de 4 sen² x − 9 tg² x.

Por definição, a cossecante é o inverso multiplicativo do seno:

    $\mathrm{cossec\,}x=\dfrac{4}{3}\\\\\\ \Longleftrightarrow \quad \dfrac{1}{\mathrm{sen\,}x}=\dfrac{4}{3}\\\\\\\Longleftrightarrow \quad \mathrm{sen\,}x=\dfrac{3}{4}\qquad\mathrm{(i)}$

Eleve os dois lados ao quadrado:

    $\Longleftrightarrow\quad \mathrm{sen^2\,}x=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{\!2}\\\\\\\Longleftrightarrow\quad \mathrm{sen^2\,}x=\dfrac{9}{16}\qquad\mathrm{(ii)}$

Substitua sen² x = 1 − cos² x:

    $\Longleftrightarrow\quad 1-\cos^2 x=\dfrac{9}{16}\\\\\\\Longleftrightarrow\quad \cos^2 x=1-\dfrac{9}{16}\\\\\\\Longleftrightarrow\quad \cos^2 x=\dfrac{16-9}{16}\\\\\\\Longleftrightarrow\quad \cos^2 x=\dfrac{7}{16}\qquad\mathrm{(iii)}$

Divida as equações (ii) e (iii) membro a membro:

     $\Longrightarrow\quad \dfrac{\mathrm{sen^2\,}x}{\cos^2 x}=\dfrac{\frac{9}{16}}{~\frac{7}{16}~}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{\mathrm{sen^2\,}x}{\cos^2 x}=\dfrac{9}{\diagup\!\!\!\!\!\! 16}\cdot \dfrac{\diagup\!\!\!\!\!\! 16}{7}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left(\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\right)^{\!2}=\dfrac{9}{7}$

Utilizando a definição de tangente, substitua sen x/cos x = tg x:

    $\Longleftrightarrow\quad \mathrm{tg^2\,}x=\dfrac{9}{7}\qquad\mathrm{(iv)}$

Portanto, o valor da expressão pedida é

    $4\mathrm{\,sen^2\,}x-9\mathrm{\,tg^2\,}x\\\\=4\cdot \dfrac{9}{16}-9\cdot \dfrac{9}{7}\\\\\\=\dfrac{36}{16}-\dfrac{81}{7}$

Reduzindo as frações ao mesmo denominador comum, obtendo o mmc(16, 7) = 112:

    $=\dfrac{36\cdot 7-81\cdot 16}{112}\\\\\\=\dfrac{252-1296}{112}\\\\\\\\=\dfrac{-1044}{112}$

Simplificando a fração,

    $=\dfrac{-1044}{112}\begin{array}{l}^{\div 4}\\^{\div 4}\end{array}\\\\\\=-\,\dfrac{261}{28}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!