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Resposta:
11^0 = 1
11^1 = 11
11^2 = 121
11^3 = 1331
11^4 = 14641
Dessa forma, percebemos uma certa ligação com o Triângulo de Pascal e as potências de 11:
0 (1)
1 (1) (1)
2 (1) (2) (1)
3 (1) (3) (3) (1)
4 (1) (4) (6) (4) (1)
Essa relação, no entanto, se limita até a 4ª linha já que a 5ª potência de 11 é igual a 161051 e a 5ª linha do Triângulo é dada por:
5 (1)(5)(10)(10)(5)(1)
Mesmo assim pode-se perceber uma relação entre ambos.
O que me intrigou realmente foi o porque dessa relação, e acabei chegando a uma verificação usando o Binômio de Newton.
Mas antes, para tentar demonstrar o meu pensamento, revisitarei algo que acredito fundamental usando um numero arbitrário, nesse caso, o número 16587.
16587 = 10000+6000+500+80+7
Bem, no caso, o que quero dizer é que todo número pode ser representado, além da forma comum, pela soma dos algarismos que o representam multiplicados pelo fator da sua casa decimal. Assim, para o exemplo acima, temos o 7 (7 da casa das unidades) somado a 80 (8 da casa das dezenas) somado a 500 (5 da casa das centenas) somado a 6000 (6 da casa de milhar) e 10000 (1 da casa de dezena de milhar). Portanto, qualquer número abcde...xyz existe na forma:
abcde...xyz = a.10^n+b.10^{n-1}+c.10^{n-2}+...+x.10^2+y.10+z
Lembrando que todos os números dessa série são, necessariamente, números naturais não negativos.
Então, depois dessa explicação um tanto exaustiva, onde estaria a relação das potências de 11 e o Triângulo?
Bem, para tanto, me utilizarei do desenvolvimento de (10+1)^n.
Para n=1 (10+1)^1=10+1=11
Para n=2 (10+1)^2=10^2+2.10.1+1^2=121
Para n=3 (10+1)^3=10^3+3.10^2.1+3.10.1^2+1^3=1331
De forma geral, para o desenvolvimento de (10+1)^n, usamos o Binômio de Newton. Assim:
(10+1)^n=\left(\frac{n}{0}\right)10^n.1^0+\left(\frac{n}{1}\right).10^{n-1}.1^1+...+\left(\frac{n}{n}\right).10^{n-n}.1^n
Dessa forma os coeficientes binomiais ocupam a posição de algarismos das casas decimais e, portanto, passam a representar o número. Usarei como exemplo a 3ª potência de 11.
(10+1)^3=\left(\frac{3}{0}\right).10^3.1^0+\left(\frac{3}{1}\right).10^2.1^1+\left(\frac{3}{2}\right).10^1.1^2+\left(\frac{3}{3}\right).10^0.1^3=1.10^3.1^0+3.10^2.1^1+3.10^1.1^2+1^3=1331