Question

Escreva na forma trigonométrica:
2 - 2√3i

Answer 1

Resposta: $2-2\sqrt{3}\,i=4\cdot \left(\cos\dfrac{5\pi}{3}+i\cdot \mathrm{sen\,}\dfrac{5\pi}{3}\right).$

Explicação passo a passo:

Dado um número complexo $z=a+bi,$ com $a,\,b\in\mathbb{R},\,a^2+b^2\ne 0$ e $i=\sqrt{-1},$ a sua forma trigonométrica é obtida da seguinte forma:

Encontramos o módulo de z, que é dado por

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}\qquad\mathrm{(i)}$

Depois, devemos encontrar o argumento de z, que é o ângulo θ tal que

$\left\{\begin{array}{l}\cos\theta=\dfrac{a}{|z|}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{b}{|z|}=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}\right.\qquad\mathrm{(ii)}$

com $0\le\theta<2\pi.$

A forma trigonométrica de z é

$z=|z|\cdot (\cos\theta+i\cdot \mathrm{sen\,}\theta)\qquad\mathrm{(iii)}$

Para esta tarefa, temos

$z=2-2\sqrt{3}\,i\quad\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}a=2\\\\ b=-2\sqrt{3}\end{array}\right.$

Calculando o módulo de z:

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}\\\\ \Longrightarrow\quad |z|=\sqrt{(2)^2+(-2\sqrt{3})^2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad |z|=\sqrt{4+12}\\\\ \Longleftrightarrow\quad |z|=\sqrt{16}=4$

Calculando o argumento de z:

$\left\{\begin{array}{l}\cos\theta=\dfrac{a}{|z|}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{b}{|z|}=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}\right.$

$\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}\cos\theta=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\\\\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{-2\sqrt{3}}{4}=-\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$

Logo, o argumento de z é $\theta=\dfrac{5\pi}{3}.$

Escrevendo z na forma trigonométrica:

$z=4\cdot \left(\cos\dfrac{5\pi}{3}+i\cdot \mathrm{sen\,}\dfrac{5\pi}{3}\right)\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

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