Question

para qual valor de y o ponto A(5,y) e B(1-2) tem distância igual a 4​

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "y" para que a distância entre os referidos pontos seja "4" é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf y' = y'' = -2\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os pontos:

                           $\Large\begin{cases} A(5, y)\\B(1, -2)\\D_{\overline{AB}} = 4\end{cases}$

Para calcular a distância entre os pontos utilizamso a seguinte estratégia:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} D_{\overline{AB}} = \sqrt{(X_{B} - X_{A})^{2} + (Y_{B} - Y_{A})^{2}}\end{gathered} }$

Para facilitar os cálculos, vou inverter os membros da seguinte forma:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sqrt{(X_{B} - X_{A})^{2} + (Y_{B} - Y_{A})^{2}} = D_{\overline{AB}}\end{gathered} }$

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sqrt{(1 - 5)^{2} + (-2 - y)^{2}} = 4\end{gathered} }$

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} (\sqrt{(1 - 5)^{2} + (-2 - y)^{2}})^{2} = (4)^{2}\end{gathered} }$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} (-4)^{2} + (-2 - y)^{2}= 16\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} 16 + 4 + 4y + y^{2} - 16 = 0\end{gathered}$

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y^{2} + 4y + 4 = 0\end{gathered}$

Escrevendo a equação em sua forma fatorada, temos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} (y + 2)\cdot(y + 2) = 0\end{gathered}$

✅ Desta forma suas raízes são:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y' = y'' = -2\end{gathered}$

       

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Veja a solução gráfica rrepresentada na figura: