Question

Alguém pode me ajudar por favor?

Answer 1

$f(x)=4x^2+5x+4$

Para encontrar a primeira derivada, utilizemos o limite:

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\\lim_{h \to 0} \frac{4(x+h)^2+5(x+h)+4-(4x^2+5x+4)}{h}\\\\\lim_{h \to 0} \frac{4(x^2+2hx+h^2)+5(x+h)+4-4x^2-5x-4}{h}\\\\\lim_{h \to 0} \frac{4x^2+8hx+4h^2+5x+5h+4-4x^2-5x-4}{h}\\\\\lim_{h \to 0} \frac{8hx+4h^2+5h}{h}\\\\\lim_{h \to 0} 8x+4h+5=8x+5$

A segunda derivada é encontrada de maneira análoga, basta utulizar 8x+5 no limite da definição. Você deve chegar em f''(x) = 8

Analisando os gráficos, começamos verificando que f''(x) = 8 está correto, a segunda derivada é a função constante.

Os gráficos de f(x) e f'(x) também são razoáveis, uma vez que a derivada negativa representa decrescimento de sua primitiva, e derivada positiva o seu crescimento. Traçando uma vertical que passa pelo vértice da parábola, também percebemos que naquele ponto a derivada vale zero, pois é o ponto de inflexão da parábola.