Question

01. Um imóvel vale hoje $ 400.000. A cada ano ele sofre uma desvalorização exponencial de 1,5%.
a. Qual será seu valor daqui a 20 anos?
b. Qual será seu valor daqui a 2 anos e seis meses?
c. Daqui a quantos anos aproximadamente seu valor se reduzirá a três quarto?

Answer 1

400000:100=4000=1% 4000:2=2000=0,5  4000+2000=6000=1,5% 6000x20=120000  400000-120000=280000 a) valera R$280.000,00 daqui a 20 anos / 6000:2=3000=0,75% 6000x2+3000=15000 400000-15000=385000 b)ele valera 385000 daqui a 2anos e 6mese / 400000:4=100000 100000x3=300000 300000:6000=50 c)ele tera em 50anos seu valor reduzido em 3/4

Answer 2

Vamos lá.

Tem-se que o imóvel custa, hoje, R$ 400.000,00.
E, como a cada ano ele sofre uma desvalorização (depreciação) de "1,5%" (ou 0,015), então deveremos procurar qual é a taxa de depreciação anual.
Para isso, basta que façamos: 1-0,015 = 0,985 <--- Esta é a taxa de desvalorização (depreciação) anual.

Bem, agora vamos fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

a) Qual será o valor do imóvel daqui a 20 anos?
Então, basta que façamos isto (chamando o preço do móvel de P):

P = 400.000*(0,985)²⁰ ----- note que (0,985)²⁰ = 0,739 (bem aproximado). Logo:

P = 400.000*0,739 ---- veja que este produto dá: 295.600,00 (bem aproximado). Assim:

P = 295.600,00 <-- Esta é a resposta para a questão do item "a".

b) Qual será o seu valor daqui a 2 anos e seis meses?
Veja que 2 anos e seis meses poderá ser representado por "2,5" anos. E 2,5 anos é a mesma coisa que 25/10 = 5/2 (após dividirmos numerador e denominador por "5"). Logo (chamando novamente o preço de P):

P = 400.000*(0,985)⁵/² ----- note que (0,985)⁵/² = √(0,985)⁵ . Assim:
P = 400.000*√(0,985)⁵ ----- veja que 0,985⁵ = 0,927 (bem aproximado). Logo:

P = 400.000*√(0,927) --- e veja que √(0,927) = 0,9628 (bem aproximado). Logo:

P = 400.000*0,9628 ---- note que este produto dá "385.120". Assim:
P = 385.120,00 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

c) Daqui a quantos anos aproximadamente o seu valor se reduzirá a três quartos?
Antes veja que 3/4 de 400.000 é: 3*400.000/4 = 1.200.000/4 = 300.000,00.
Então 3/4 de R$ 400.000,00 é exatamente R$ 300.000,00.

Assim, deveremos fazer da seguinte forma: igualaremos a R$ 300.000,00 o valor atual do imóvel (R$ 400.000,00) multiplicado pelo fator de desvalorização (0,985) a um expoente "n", que significará "n" anos. Assim, faremos:

300.000 = 400.000*(0,985)ⁿ  --- vamos apenas inverter, ficando:
400.000*(0,985)ⁿ = 300.000 ---- vamos isolar (0,985)ⁿ , ficando:
(0,985)ⁿ = 300.000/400.000 --- note que esta divisão dá exatamente "0,75". Logo:

(0,985)ⁿ = 0,75 ---- agora aplicaremos logaritmo (na base 10) a ambos os membros, ficando:

log (0,985)ⁿ = log (0,75) ---- passando o expoente multiplicando, teremos:

n*log (0,985) = log (0,75)

Agora veja que:
log (0,985) = - 0,00656377 (aproximadamente)
log (0,75) = - 0,12493874 (aproximadamente).

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

n*(-0,00656377) = - 0,12493874 ---- multiplicando ambos os membros pro "-1", ficaremos com:

0,00656377n = 0,12493874 ---- isolando "n", teremos:
n = 0,12493874/0,00656377 ---- veja que esta divisão dá "19" (bem aproximado). Logo, teremos que:

n = 19 anos <---- Esta é a resposta para a questão do item "c".

Bem, a resposta do item "c" já está dada. Agora, só por mera curiosidade, vamos ver se daqui a 19 anos o imóvel que, hoje custa R$ 400.000,00, valerá, na realidade, apenas R$ 300.000,00. Vamos ver:

P = 400.000*(0,985)¹⁹ --- como (0,985)¹⁹ = 0,75 (bem aproximado), então:
P = 400.000*0,75 ---- veja que este produto dá exatamente 300.000. Logo: 
P = 300.000,00 <--- Note que é verdade que, daqui a 19 anos, o imóvel valerá  R$ 300.000,00 realmente. Valeu a nossa curiosidade

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.