Question

1.Determine a Soma dos 100 primeiros termos da P.A.(2, 4, 6, ...)

2.Dada a P.A.(13, 23, 33, 43, ...), determine:
a) a15 b) a31

Answer 1

Resposta:

1. 10100.

2. $a_{15}=153, a_{31}=313$

Explicação passo a passo:

1. Deves descobrir a soma $S$ dos 100 primeiros números pares naturais e, para isso, utilizar a fórmula (Deduzo-a ao final da explicação.):

$S=\dfrac{n(a_1+a_f)}{2}$

onde $n$ é o número de termos, $a_1$ é o primeiro termo e $a_f$, o último.

Substituindo,

$S=\dfrac{100(2+200)}{2}=\dfrac{20200}{2}=10100$

Lembre-se: o centésimo termo é 200 porque somente os números pares são considerados!

2. Ao subtrair qualquer termo pelo anterior ($23-13$, por exemplo), descobre-se que a razão da P.A. é 10, o que significa que cada termo equivale ao anterior quando a este soma-se 10.

Logo, $a_{15}=a_{14}+10$

Para chegar a $a_{14}$, teve-se de somar 10, 13 vezes, a $a_1$.

$a_{14}=a_1+13 \times 10$

Portanto, deduz-se a fórmula:

$a_n=a_1+(n-1)r$.

Logo,

$a_{15}=13+14\times 10=153\\a_{31}=13+30\times 10=313$.

Deduzindo a fórmula da soma:

Queremos descobrir a soma dos primeiros 100 números naturais (0 até 100).

Percebe-se que, ao somar termos equidistantes o resultado sempre é o mesmo:

$0+100=100\\1+99=100\\2+98=100\\3+97=100\\...$

Por lógica, ao somar todos os resultados teremos a soma de todos os termos e, como dividimos o conjunto em duplas de números, basta multiplicar o resultado (100) pelo número de termos quando divido por dois ($100\div2=50$).

Então,

$S=\dfrac{n(a_1+a_f)}{2}$