Question

Mostre que se b|a, c|a e (b, c) = 1 então bc|a.

Answer 1

Explicação passo a passo:

Dados a, b e c inteiros, mostrar que se b | a, c | a e mdc(b, c) = 1, então bc | a.

• Demonstração:

$b|a\quad\Longrightarrow\quad a=k_1 b,$ para algum $k_1\in\mathbb{Z}$

$c|a\quad\Longrightarrow\quad a=k_2 c,$ para algum $k_2\in\mathbb{Z}$

Portanto, temos

$\Longrightarrow\quad k_1 b=k_2 c\\\\ \Longrightarrow\quad b|k_2 c$

Mas como $\mathrm{mdc}(b,\,c)=1,$ devemos ter

$\Longrightarrow\quad b|k_2\\\\ \Longrightarrow\quad k_2=k_3 b$

para algum $k_3\in \mathbb{Z}.$

Logo,

$\Longrightarrow\quad a=k_2 c=(k_3 b)c\\\\ \Longleftrightarrow\quad a=k_3(bc)\\\\ \Longleftrightarrow\quad bc|a\qquad\blacksquare$

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Bons estudos! :-)