Question

Cálculo 2 - Uma trena é lançada do solo verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 35 m/s. Desprezando-se a resistência do ar, determine:
A) a distância da trena até o solo, s(t) depois de t segundos
B) a altura máxima que pode ser atingida pela trena.

Answer 1

Resposta:

A)  $s(t)=35t-5t^2\quad\mathrm{(metros).}$

B)  $s_{\mathrm{max}}=61,\!25\mathrm{~m.}$

Explicação passo a passo:

Modelagem matemática de movimento retilíneo uniformemente acelerado.

Consideraremos como orientação positiva o senido de baixo para cima $\uparrow.$

• Função horária da velocidade:

    $v(t)=v(0)-gt$

sendo

    $v(0)=35\mathrm{~m/s}$ a velocidade inicial no instante $t=0$;

    $g$ o módulo da aceleração gravitacional local (constante).

Assumindo $g=10~\mathrm{m/s^2},$ temos

    $\Longrightarrow\quad v(t)=35-10t\quad\mathrm{(m/s)}\qquad\checkmark$

A)  Obtemos a função horária $s(t)$ da posição da trena, integrando a função velocidade:

    $\begin{array}{l}\displaystyle s(t)=s(0)+\int_0^t v(\tau)\,d\tau\\\\ \displaystyle\Longleftrightarrow\quad s(t)=s(0)+\int_0^t (35-10\tau)\,d\tau\\\\ \displaystyle\Longleftrightarrow\quad s(t)=s(0)+\left.\left(35\tau-\frac{10\tau^2}{2}\right)\right|_0^t\\\\ \displaystyle\Longleftrightarrow\quad s(t)=s(0)+(35\tau-5t^2)\Big|_0^t \end{array}$

    $\begin{array}{l}\displaystyle\Longleftrightarrow\quad s(t)=s(0)+(35t-5t^2)-(35\cdot 0 -5\cdot 0^2)\\\\ \displaystyle\Longleftrightarrow\quad s(t)=s(0)+35t-5t^2\end{array}$

Mas $s(0)=0,$ pois esta é a distância inicial da trena até o solo no instante $t=0.$ Logo, a função horária da distância da trena até o solo após $t$ segundos é

    $\displaystyle\Longleftrightarrow\quad s(t)=35t-5t^2\quad\mathrm{(metros)\qquad}\checkmark$

B)  A altura máxima ocorre no instante em que a velocidade se anula:

    $\begin{array}{l}v(t)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 35-10t=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 10t=35\\\\ \Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{35}{10}=3,\!5\mathrm{~s}\qquad\checkmark \end{array}$

Portanto, a altura máxima atingida pela trena é

    $\begin{array}{l} s_{\mathrm{max}}=s(3,\!5)=35\cdot (3,\!5)-5\cdot (3,\!5)^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad s_{\mathrm{max}}=122,\!5-5\cdot 12,\!25\\\\ \Longleftrightarrow\quad s_{\mathrm{max}}=122,\!5-5\cdot 12,\!25\\\\ \Longleftrightarrow\quad s_{\mathrm{max}}=122,\!5-61,\!25\\\\ \Longleftrightarrow\quad s_{\mathrm{max}}=61,\!25~\mathrm{m}\qquad\checkmark\end{array}$

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Bons estudos!