Matéria: Física
Autor: pedrofarias43455
Perguntado 3 anos atrás

59 Um pêndulo está suspenso do teto e preso a uma mola que, por sua vez, está presa ao chão em um ponto diretamente abaixo do suporte do pêndulo (Figura 7-48). A massa da bolinha do pêndulo é m, o comprimento do pêndulo é Le a constante de força é k. O comprimento da mola frouxa é L/2 e a distância entre o chão e o teto é 1,5L. O pêndulo é puxado lateralmente, de modo a formar um ângulo U com a vertical e é então liberado do repouso. Obtenha uma expressão para a rapidez da bolinha, quando ela passa pelo ponto diretamente abaixo do suporte do pêndulo.

Anexos:

Respostas

respondido por: Nitoryu

A expressão que descreve a velocidade da bolinha do pêndulo será:

$\displaystyle\boxed{ \rm{\bold{v=\sqrt{2gL(1-cos\theta )+\dfrac{kL^2}{m}\left (\sqrt{\dfrac{13}{4}-3cos\theta}-\dfrac{1}{2}\right)^2}}}}$

Neste problema devemos encontrar a lei de conservação da energia mecânica, esta lei pode nos ajudar a calcular uma expressão para a velocidade. Devemos saber que a energia mecânica será conservada em ambos os pontos onde a esfera do pêndulo está localizada.

$\displaystyle \rm{\bold{E_{m1}=E_{m2} }}$

A energia mecânica no primeiro ponto do pêndulo é igual à energia potencial da bola naquela altura mais a energia elástica da mola que segura a bola naquele mesmo ponto, e a energia mecânica no segundo ponto é igual à energia cinética que terá quando estiver a uma altura igual a 0.

$\displaystyle \rm{\bold{mgh+ \dfrac{k x^2}{2}=\dfrac{m v^2}{2} }}$

Mas a deformação "x" não está definida no problema ou em nosso pêndulo, então o que faremos é encontrar uma expressão que defina a deformação. Mas para encontrar essa expressão devemos usar o teorema de Pitágoras.

Se traçarmos os triângulos retângulos no pêndulo na imagem, obtemos dois triângulos retângulos. Se você vir a segunda imagem anexada, temos uma cateto adjacente que ambos os triângulos compartilham, então essa cateto terá o mesmo valor em ambas as partes.

Vamos atribuir a letra d para a cateto, se aplicarmos o teorema de Pitágoras para encontrar uma expressão que seja igual a essa cateto no primeiro triângulo que obtemos.

$\rm{ \bold{L^2 = d^2 +(L cos\theta)^2}}$

$\rm{ \bold{L^2-(L cos\theta)^2 = d^2 }}$

Essa expressão pode ser simplificada como:

$\rm{ \bold{L^2(1- cos\theta)^2 = d^2 }}$

Se quisermos encontrar a deformação da mola, devemos ter a seguinte expressão:

$\rm{ \bold{ \left(x+\dfrac{L}{2} \right)^2= d^2 + \left(L-L(cos\theta +\dfrac{L}{2}\right)^2}}$

Se simplificarmos e substituirmos o valor de "d ao quadrado" obtemos a equação:

$\rm{ \bold{ \left(x+\dfrac{L}{2} \right)^2= L^2-(1- cos\theta)^2+ \left(L\left[\dfrac{3}{2}-cos\theta\right]\right)^2}}$

$\rm{ \bold{ \left(x+\dfrac{L}{2} \right)^2= L^2(1- cos\theta)^2+L^2 \left(\dfrac{3}{2}-cos\theta\right)^2}}$

Simplificamos como uma expressão algébrica mais simples:

$\rm{ \bold{ \left(x+\dfrac{L}{2} \right)^2= L^2\left[(1- cos\theta)^2+\left(\dfrac{3}{2}-cos\theta\right)\right]^2}}$

Na segunda parte da equação podemos aplicar o quadrado binomial para obter:

$\rm{ \bold{ \left(x+\dfrac{L}{2} \right)^2= L^2\left[(1^2-cos(\theta)^2+\dfrac{3}{2} ^2 - 2\cdot \dfrac{3}{2} \cdot cos\theta +cos(\theta)^2\right]}}$

$\rm{ \bold{ \left(x+\dfrac{L}{2} \right)^2= L^2\left[(\dfrac{13}{4}- 3cos\theta\right] }}$

Aplicamos a raiz quadrada a ambas as partes da nossa equação:

$\rm{ \bold{\sqrt{ \left(x+\dfrac{L}{2} \right)^2}= \sqrt{L^2\left[\dfrac{13}{4}- 3cos\theta\right] }}}$

$\rm{ \bold{x+\dfrac{L}{2}= L\left[\sqrt{\dfrac{13}{4}- 3cos\theta}\right] }}$

$\rm{ \bold{x= L\sqrt{\left(\dfrac{13}{4}- 3cos\theta -\dfrac{L}{2}\right)}}}$

$\rm{ \bold{x= L\sqrt{\left(\dfrac{13}{4}- 3cos\theta \right)-\dfrac{1}{2}}}}$

Substituindo na fórmula da igualdade de energia mecânica.

$\displaystyle \rm{\bold{mgh+ \dfrac{k}{2}\left(L\sqrt{\left(\dfrac{13}{4}- 3cos\theta \right)}-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{m v^2}{2}} }$

$\displaystyle \rm{\bold{2gh+ \dfrac{k}{m}\left(L\sqrt{\left(\dfrac{13}{4}- 3cos\theta \right)}-\dfrac{1}{2}\right)^2=v^2} }$

$\displaystyle \rm{\bold{\sqrt{2gh+ \dfrac{kL^2}{m}\left(\sqrt{\left(\dfrac{13}{4}- 3cos\theta \right)}-\dfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{v^2}} }$

$\displaystyle \rm{\bold{\sqrt{2gh+ \dfrac{kL^2}{m}\left(\sqrt{\left(\dfrac{13}{4}- 3cos\theta \right)}-\dfrac{1}{2}\right)^2}=v} }$

A altura do pêndulo é definida pela expressão:

$\bold{h=}\boxed{\rm{\bold{L-Lcos\theta= L(1-cos\theta)}}}$

Substituindo:

$\displaystyle \green{\rm{\boxtimes~ \boxed{\bold{\sqrt{2gL(1-cos\theta)+ \dfrac{kL^2}{m}\left(\sqrt{\dfrac{13}{4}- 3cos\theta }-\dfrac{1}{2}\right)^2}=v~\checkmark }}} }$