Question

Questão 5. Seja A o maior subconjunto de R no qual está definida a função real x3 - 5x2 - 25x + 125 f(x) Considere, ainda, B o conjunto das imagens de f. Nessas - = X + 5 condições, determine o conjunto domínio A e o conjunto imagem B.

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Answer 1

Resposta:

Domínio:

$D_f = \mathbb{R} - \{-5\}$

Imagem:

$I_f = \mathbb{R}_+$

Explicação passo a passo:

Perceba que

$x^3 - 5x^2 - 25x + 125 = x^2(x-5) - 25(x - 5) = (x-5)(x^2 - 25)$

Como:

$x^2-25 = (x-5)(x+5)$

Podemos escrever:

$x^3 - 5x^2 - 25x + 125 = (x-5)^2(x + 5)$

Voltando à função:

$f(x) = \sqrt{\frac{(x-5)^2(x+5)}{x+5}}$

Assim, sabmos que basta que o denominador não seja zero:

$x + 5 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne -5$

Este é o domínio:

$D_f = \mathbb{R} - \{-5\}$

Para a imagem, podemos reescrever a funçãi como:

$f(x) = \sqrt{(x-5)^2}$

Isso é o mesmo que:

$f(x) = \vert x - 5 \vert$

Assim, as imagens de f são todos os valores reais e maiores ou iguais a zero, já que o módulo de um número é nulo ou positivo.

Portanto:

$I_f = \mathbb{R}_+$