Question

Na matemática atual usamos o sistema de numeração posicional para representar números reais. Nesse sistema um número é representado por uma sequência de algarismos e o valor que cada algarismo representa depende da posição que ele ocupa na representação. Por exemplo, no número 22, o primeiro 2 (da esquerda para a direita) representa vinte, e o seguinte representa o 2. No entanto, existe um outro fator: a base utilizada. Um número real pode ser representado em diferentes bases numéricas.

Considerando isso, analise as seguintes afirmações

I – 200 na base 10 representa duzentos. 200 na base 5 representa 100.

II – 200 na base 10 representa duzentos. Duzentos na base 20 representa 800.

III – 300 não representa absolutamente nenhum número na base 3.

a.
Apenas as afirmações I e II estão corretas.

b.
Nenhuma afirmação está correta.

c.
Apenas as afirmações I e III estão corretas.

d.
Todas as afirmações estão corretas.

e.
Apenas as afirmações II e III estão corretas.

Answer 1

A Afirmação I é falsa e as afirmações II e III são verdadeiras.

Alternativa E.

• O sistema de numeração decimal usa o método posicional no qual a posição que o algarismo ocupa no número determina seu valor.

Exemplo: No número 3.842 o 3 vale 3000, o 8 vale 800, o 4 vale 40 e o 2 vale 2, pois:

3842 = 3000 + 800 + 40 + 2 ⟹ Fatore.

3842 = 3×1000 + 8×100 + 4×10 + 2×1

• Transforme os multiplicadores em potenciações de base 10 (pois o sistema é decimal).

3842 = 3×10³ + 8×10² + 4×10¹ + 2×10⁰

• Para números representados em outras bases numéricas, substitua a potência de base 10 por uma potência na base correspondente ao sistema de numeração.
• Analise as afirmativas:

Afirmação I: 200 na base 10 representa duzentos. 200 na base 5 representa 100.

(200)₁₀ = 2×10² + 0×10¹ + 0×10⁰

(200)₁₀ = 2×100 + 0×10 + 0×1

(200)₁₀ = 200 + 0 + 0

(200)₁₀ = 200  ⟹ Verdadeiro: 200 na base 10 representa duzentos.

(200)₅ = 2×5² + 0×5¹ + 0×5⁰

(200)₅ = 2×25 + 0×5 + 0×1

(200)₅ = 50 + 0 + 0

(200)₅ = 50 ⟹ Falso pois 200 na base 5 representa cinquenta.

Afirmação II: 200 na base 10 representa duzentos. Duzentos na base 20 representa 800.

(200)₂₀ = 2×20² + 0×20¹ + 0×20⁰

(200)₂₀ = 2×400 + 0 + 0

(200)₂₀ = 800 ⟹ Verdadeiro

Afirmação III: 300 não representa absolutamente nenhum número na base 3.

Verdadeiro pois na base 3 apenas três algarismos são válidos: o 0, 1 e 2 e portanto não há o algarismo 3.

A Afirmação I é falsa e as afirmações II e III são verdadeiras.

Alternativa E.

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