Question

O vetor gradiente da função f(x,y,z) = x²+2y²+4z², no ponto (1,2,-2) é:

Answer 1

Resposta: $\boldsymbol{\red{\text{ \vec{\nabla}\sf\,f(1,2,-2)=2\,\mathnormal{\vec{\sf i}}+8\,\mathnormal{\vec{\sf j}}-16\,\mathnormal{\vec{\sf k}}. }}}$

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Explanação

Vamos lá? O vetor gradiente de uma função derivável de três variáveis é representado e calculado por:

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                             $\large\text{ \vec{\nabla}\sf\,f(x,y,z)=\big\langle f_x,f_y,f_z\big\rangle=f_x\,\mathnormal{\vec{\sf i}}+f_y\,\mathnormal{\vec{\sf j}}+f_z\,\mathnormal{\vec{\sf k}} }$

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Onde $\sf f_x=\frac{\partial f}{\partial x}$, $\sf f_y=\frac{\partial f}{\partial y}$ e $\sf f_z=\frac{\partial f}{\partial z}$ são as derivadas parciais de f em relação a, respectivamente, x, y e z.

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PASSO 1

Dado a função f(x, y, z) = x² + 2y² + 4z², desejamos calcular o vetor gradiente no ponto (1, 2, - 2). Para isso, calculemos primeiro as derivadas parciais de f (veja as regras de derivação usadas⁽¹⁾⁽²⁾ em Referências):

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ﾠﾠ$\begin{array}{l}\sf \dfrac{}{}\end{array}$$\begin{array}{l}\sf f_x(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2+2y^2+4z^2)\\\\\sf \qquad\qquad=\frac{\partial}{\partial x}x^2+\frac{\partial}{\partial x}2y^2+\frac{\partial}{\partial x}4z^2\\\\\sf \qquad\qquad=2x+0+0\\\\\sf \qquad\qquad=2x.\end{array}$

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ﾠﾠ$\begin{array}{l}\sf f_y(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial y}(x^2+2y^2+4z^2)\\\\\sf \qquad\qquad=\frac{\partial}{\partial y}x^2+\frac{\partial}{\partial y}2y^2+\frac{\partial}{\partial y}4z^2\\\\\sf \qquad\qquad=0+4y+0\\\\\sf \qquad\qquad=4y.\end{array}$

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ﾠﾠ$\begin{array}{l}\sf f_z(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial z}(x^2+2y^2+4z^2)\\\\\sf \qquad\qquad=\frac{\partial}{\partial z}x^2+\frac{\partial}{\partial z}2y^2+\frac{\partial}{\partial z}4z^2\\\\\sf \qquad\qquad=0+0+8z\\\\\sf \qquad\qquad=8z.\end{array}$

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PASSO 2

Então veja que o vetor gradiente da função f é:

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                                        ${\large\boldsymbol{\vec{\nabla}\sf\,f(x,y,z)=\big\langle2x,4y,8z\big\rangle}$

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Como desejamos calcular o gradiente em (1, 2, - 2), basta substituir as variáveis pelas coordenadas do ponto dado:

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ﾠﾠ$\begin{array}{l}\vec{\nabla}\sf\,f(1,2,-2)=\big\langle2\cdot1,4\cdot2,8\cdot(-2)\big\rangle\\\\\vec{\nabla}\sf\,f(1,2,-2)=\sf\big\langle2,8,-\,16\big\rangle.\end{array}$

ﾠ

Que em notação vetorial, temos:

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ﾠﾠ$\boldsymbol{\red{\text{ \vec{\nabla}\sf\,f(1,2,-2)=2\,\mathnormal{\vec{\sf i}}+8\,\mathnormal{\vec{\sf j}}-16\,\mathnormal{\vec{\sf k}} }}}\sf~\to~resposta.$

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Alguma dúvida? Pergunte nos comentários! Abraços, Nasgovaskov.

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Referências

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$\sf^{(1)}\frac{\partial}{\partial x}(c)=0,~c:constante~real.$

• A derivada de uma constante é igual a zero. Sempre ao derivar parcialmente uma função em relação a uma variável, devemos considerar as outras variáveis apenas como constantes.

$\sf^{(2)}\frac{\partial}{\partial x}(ax^b)=abx^{b-1},~a,b\neq0.$

• A derivada parcial de um monômio, sendo ele considerado uma variável, deve ser igual ao produto dele por seu expoente com a diminuição de uma unidade no expoente.

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o vetor gradiente da referida função polinomial de duas variáveis, aplicado ao ponto "P" é:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ \vec{\nabla} f(1, 2, -2) = (2, 8, -16)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                  $\Large\begin{cases} f(x, y, z) = x^{2} + 2y^{2} + 4z^{2}\\P(1, 2, -2)\end{cases}$

Então, temos:

• Calculando o vetor gradiente da função:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y, z) = \langle f_{x}(x, y, z),\,f_{y}(x, y, z),\,f_{z}(x, y, z)\rangle\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial}{\partial z}\vec{k}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\cdot1\cdot x\, \vec{i} + 2\cdot2\cdot y\, \vec{j} + 2\cdot4\cdot z\,\vec{k}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2x\,\vec{i} + 4y\,\vec{j} + 8z\,\vec{k}\end{gathered}$

• Calcular o vetor gradiente da função aplicado ao ponto "P":

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 2, -2) = 2\cdot1\,\vec{i} + 4\cdot2\,\vec{j} + 8\cdot(-2)\,\vec{k}\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\,\vec{i} + 8\,\vec{j} - 16\,\vec{k}\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2, 8, -16)\end{gathered}$

✅ Portanto, o vetor gradiente da função aplicado ao ponto P é:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 2, -2) = (2,\,8,\,-16)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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