Question

mostre que, para todos os valores reais t e n, os pontos A(2,3) B(2+4t,3-5t) e C(2+4n, 3- 5n) sao colineares

Answer 1

Três pontos são colineares se o determinante:

$\left[\begin{array}{ccc}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{array}\right] =0 \\ \left[\begin{array}{ccc}2&3&1\\2+4t&3-5t&1\\2+4n&3-5n&1\end{array}\right] =0$

É possível perceber que as linhas 2 e 3 do determinante são combinações lineares em relação a linha 1, portanto, independente dos valores de t e n esse determinante será sempre nulo, logo, os pontos são colineares.