Question

o domínio da função real de variável real definida por f(x) = log (x - 1) ( -x²+x+6) é igual a:​

Answer 1

Resposta: $D(f)=x\in\,]1,2[~\cup~]2,3[$

ou então, $\text{ D(f)=\big\{~x\in\mathbb{R}~|~1 < x < 2~\text{ou}~2 < x < 3~\big\} }$.

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Explicação passo a passo:

Para que uma função real de variável real $x$ exista e esteja definida, denotamos por domínio o conjunto de elementos reais atribuídos a $x$. Para determinar esse conjunto, é necessário verificar se há elementos que podem e não podem fazer parte da função. Assim, nós excluímos ou restringimos. Caso não houver empecilhos para a função existir, então apenas dizemos que o domínio pertencente aos reais.

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Solução

Seja $f(x)=\ell og_{x-1}\,(-\,x^2+x+6)$. O primeiro fato a perceber é que ela é uma função logarítmica. Para logaritmos, existem três condições de existência:

$f=\ell og_a\,(b)\implies 1\neq a > 0, b > 0.$

Ou seja, a base $a$ deve ser positiva, ao mesmo tempo que distinta de 1, e o logaritmando $b$ deve ser positivo. Caso contrário a estas condições, o logaritmo não estará definido.

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No caso da função dada:

$f(x)=\ell og_{x-1}\,(-\,x^2+x+6)\implies$

$\implies \begin{cases}~x-1\neq1\qquad\:~~~~~\mathsf{(\:l\:)}\\~x-1 > 0\qquad\,~~~~~\mathsf{(\:ll\:)}\\~-x^2+x+6 > 0~\mathsf{(\:lll\:)}\end{cases}$

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Condição ( l ):

$x-1\neq1$

$x\neq1+1$

$x\neq2$

$\therefore~C_{\mathsf{l}}=x\in\,]-\infty,2[~\cup~]2,\infty[$

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Condição ( ll ):

$x - 1 > 0$

$x > 1$

$\therefore~C_{\mathsf{ll}}=x\in\,]1,\infty[$

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Condição ( lll ):

$-\,x^2+x+6 > 0$

$-\,x^2-2x+3x+6 > 0$

$x(-\,x-2)-3(-\,x-\,2) > 0$

$-\,(x+2)(x-3) > 0$

$(x+2)(x-3) < 0$

Para $x+2 > 0$, $x+2=0$ e $x+ 2 < 0$ :$x > -\,2$,

Para $x-3 > 0$, $x-3=0$ e $x-3 < 0$ : $x < 3$

Plotando estes intervalos em retas reais:

ㅤㅤㅤ$\text{ (x+2)\quad\, \!\overset{------}{\textsf{--------------}}\!\!\!\!\:\underset{\!\!\!-\,2}{\circ}\!\!\!\:\!\overset{\!\!\!\!++++++++++++++++++}{\textsf{------------------------------------}}\!\!\!\!\!\:\!\:\!\blacktriangleright }$

ㅤㅤㅤ$\text{ (x-3)\quad\, \!\overset{------------------}{\textsf{------------------------------------}}\!\!\underset{3}{\circ}\!\!\overset{\!\!++++++}{\textsf{--------------}}\!\!\!\!\!\:\!\:\!\blacktriangleright }$

$\text{ (x+2)(x-3)\quad\, \!\overset{++++++}{\textsf{--------------}}\!\!\!\!\:\underset{\!\!\!-\,2}{\circ}\!\!\overset{----------}{\textsf{---------------------}}\!\!\underset{3}{\circ}\!\!\overset{\!\!++++++}{\textsf{--------------}}\!\!\!\!\!\:\!\:\!\blacktriangleright }$

Como $(x+2)(x-3) < 0$, então $C_{\mathsf{lll}}=-\,2 < x < 3=x\in\,]-2,3[$.

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Logo, o domínio da função é constituído apenas de valores que estão contidos nos intervalos $]-\infty,2[~\cup~]2,\infty[$, $]1,\infty[$ e $]-2,3[$. Pensando em unificá-los para a resposta final (VEJA O ANEXO):

$\boldsymbol{\red{D(f)=x\in\,]1,2[~\cup~]2,3[}}$

Ou se preferir, na notação:

$\boldsymbol{\red{\text{ D(f)=\big\{~x\in\mathbb{R}~|~1 < x < 2~\text{ou}~2 < x < 3~\big\} }}}$

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Dúvidas? Não hesite em perguntar. Abraços, Nasgovaskov.