Question

Considere o sistema abaixo:
4x + y + 2z = 1
x + 4y + 2z = 1
2x + y + 4z = 1
O que se pode dizer sobre sua convergência, quando utilizado o método de Gauss-Seidel? O cálculo deve ser apresentado.

Answer 1

Resposta: Pelo critério de Sassenfeld, o sistema converge.

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Explicação passo a passo:

Para saber se um sistema linear pode ser resolvido utilizando o método iterativo de Gauss-Seidel, dentre os critérios de convergência, podemos aplicar o critério de Sassenfeld. Seja o sistema linear $AX=B$. Esse critério nos garante que:

                             $\\\largemax\,\big\{\beta_i\big\} < 1\implies \text{o sistema converge}$

, onde:

                 $\\\beta_i=\begin{cases}\dfrac{|a_{12}|+|a_{13}|+\,\dots\,+|a_{1n}|}{a_{11}},~i=1\\\\\dfrac{|a_{i1}|\cdot \beta_1+|a_{i2}|\cdot \beta_2+\,\dots\,+|a_{i(i-1)}|\cdot \beta_{i-1}}{a_{ii}},~i > 1\end{cases}$

Obedecendo esse critério, é possível encontrar as soluções do sistema por esse método numérico.

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Solução

Seja o sistema abaixo:

$\begin{cases}~4x + y + 2z = 1\\~x + 4y + 2z = 1\\~2x + y + 4z = 1\end{cases}$

Sua forma matricial $AX=B$ é:

$\left[\begin{array}{ccc}4&1&2\\1&4&2\\2&1&4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1\\1\\1\end{array}\right]$

Então, calculando o beta em cada linha:

$\\\begin{array}{l}\beta_1=\dfrac{|a_{12}|+|a_{13}|}{a_{11}}\\\\\quad\:\,=\dfrac{|1|+|2|}{|4|}\\\\\quad\:\,=\dfrac{1+2}{4}\\\\\quad\:\,=\dfrac{3}{4}=0,\!75.\end{array}$

$\begin{array}{l}\beta_2=\dfrac{|a_{21}|\cdot\beta_1+|a_{23}|}{|a_{22}|}\\\\\quad\:\,=\dfrac{|1|\cdot0,\!75+|2|}{|4|}\\\\\quad\:\,=\dfrac{1\cdot0,\!75+2}{4}\\\\\quad\:\,=\dfrac{2,\!75}{4}=0,\!6875.\end{array}$

$\begin{array}{l}\beta_3=\dfrac{|a_{31}|\cdot\beta_1+|a_{32}|\cdot\beta_2}{|a_{33}|}\\\\\quad\:\,=\dfrac{|2|\cdot0,\!75+|1|\cdot0,\!6875}{|4|}\\\\\quad\:\,=\dfrac{2\cdot0,\!75+1\cdot0,\!6875}{4}\\\\\quad\:\,=\dfrac{2,\!1875}{4}=0,\!5468.\end{array}$

Logo, de acordo com Sassenfeld:

$max\big\{\beta_i\big\} < 1$

$max\big\{\beta_i\big\} =\beta_2 < 1$

$\green{max\big\{\beta_i\big\} =0,\!6875 < 1~~\checkmark}$

Como o maior dos betas é menor que um, o critério está satisfeito e, portanto, podemos dizer que o sistema converge pelo método de Gauss-Seidel.

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Dúvidas? Não hesite em perguntar. Abraços, Nasgovaskov.