Question

Seja n um número natural de dois algarismos. O quadrado da soma dos algarismos de n é igual a soma dos algarismos de n^2. Determine a quantidade de números de dois de algarismos que satisfazem essa condição.​

Answer 1

Resposta: 9 (nove) números de dois algarismos satisfazem a condição dada, a saber:

     $\{10,\,11,\,12,\,13,\,20,\,21,\,22,\,30,\,31\}.$

Explicação passo a passo:

Seja $n=10a+b$ um número natural de dois algarismos, com $a,\,b\in\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9,\,0\}$ e $a\ne 0.$

Logo, devemos ter

     $10\le n\le 99\\\\ \Longrightarrow\quad 10^2\le n^2\le 99^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad 100\le n^2\le 9801$

Portanto, $n^2$ é um número de no mínimo 3 algarismos e no máximo 4 algarismos.

Definindo $S:~\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ a função cuja lei é dada por

     $S(m)=\mathrm{soma~dos~algarismos~de~}m$

para $10\le n\le 99,$ temos

     $S(10)\le S(n)\le S(99)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1+0\le S(n)\le 9+9\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1\le S(n)\le 18\qquad\mathrm{(i)}$

Por outro lado, devemos ter

     $S(100)\le S(n^2)<S(9999)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1+0+0\le S(n^2)< 9+9+9+9\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1\le S(n^2)< 36\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1^2\le S(n^2)<6^2\qquad\mathrm{(ii)}$

Queremos encontrar os naturais n tais que

     $(S(n))^2=S(n^2)\qquad\mathrm{(iii)}$

Por (i), (ii) e (iii), concluímos que é necessário (mas não suficiente) que

     $\Longrightarrow\quad 1^2\le (S(n))^2<6^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1\le S(n)<6\qquad\mathrm{(iv)}$

Com isso, restringimos as possibilidades para os valores de n:

A soma dos algarismos de n deve ser no mínimo 1, e não pode ser maior que 5.

Logo,

     $\Longrightarrow\quad n\in\{10,\,11,\,12,\,13,\,14,\,20,\,21,\,22,\,23,\,30,\,31,\,32,\,40,\,41,\,50\}\qquad\mathrm{(v)}$

Dentre esses valores, vamos tabelar quais satisfazem a condição imposta pela igualdade (iii):

   n    S(n)   (S(n))²    n²     S(n²)     (S(n))²=S(n²)

  10      1         1        100       1         Verdadeiro

  11       2        4        121       4         Verdadeiro

  12      3        9        144      9         Verdadeiro

  13      4       16        169      16       Verdadeiro

  14      5      25        196      16           Falso

  20     2        4        400      4       Verdadeiro

  21      3        9        441       9       Verdadeiro

  22     4        16       484      16      Verdadeiro

  23     5       25       529      16          Falso

  30     3        9        900      9       Verdadeiro

  31      4       16        961      16       Verdadeiro

  32     5       25      1024      7           Falso

  40     4       16       1600      7           Falso

  41      5       25      1681      16           Falso

  50     5       25      2500     7           Falso

Logo, os possíveis valores de n que satisfazem a condição dada são:

     $\Longrightarrow\quad n\in\{10,\,11,\,12,\,13,\,20,\,21,\,22,\,30,\,31\}$

totalizando 9 (nove) elementos.

Bons estudos! :-)