Question

Calcule o volume de D dada pela intersecção dos planos x = 0, y = 0, z = 0 e z = 1 − x − y.
Obs: sobre integral tripla

Answer 1

Utilizando integral tripla para calcular o volume, obtemos o resultado 0,167 unidades de volume.

Cálculo do Volume

Para utilizar integral tripla para calcular o volume entre os planos x = 0, y = 0, z = 0 e z = 1 - x - y, devemos calcular a integral da constante 1 sobre a região determinada por esses quatro planos.

Observe que podemos descrever o sólido obtido como a região dos pontos no plano tais que:

$x \in [0, 1] \quad y \in [0, 1 - x] \quad z \in [0, 1 - x - y]$

Portanto, esses serão os intervalos de integração de utilizaremos. Como o intervalo de z está descrito em função das variáveis x e y e o intervalo de y está descrito em função dos valores de x, devemos adotar a ordem de integração dzdydx. Dessa forma, para calcular o volume da região basta resolver a seguinte integral tripla:

$\int_0^1 \int_0^{1 - x} \int_0^{1 - x - y} 1 \; dzdydx = \int_0^1 \int_0^{1 - x}  1 - x - y \; dydx = \int _0^1 (x^2-2x-\frac{(-x+1)^2}{2}+1 dx = \dfrac{1}{6} = 0,167$

Para mais informações sobre integral tripla, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/49521938

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