Question

2) O Teorema Fundamental do Cálculo é de suma importância para todo o campo de estudo relacionado ao cálculo. Uma consequência disto é o que permite computar integrais utilizando a antiderivada da função a ser integrada. Assim, encontre a área da região limitada pelas curvas y space equals space x ² space – space 1 space e space y space equals space x space plus space 1, em seus cálculos considere o intervalo de integração open square brackets negative 1 comma 2 close square brackets. c Fonte: Ribeiro, 2018. Agora, assinale a alternativa correta. Selecione uma alternativa:

Answer 1

O valor da área da região limitada entre as funções utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo é de $4,5 \ u.a.$

Cálculo - Integral Definida

O Teorema Fundamental do Cálculo pode ser enunciado da seguinte forma:

"Se $f$ for uma função contínua no intervalo $[a, b]$, então $\int_a^b \ f(x) \ dx=F(b)-F(a)$ , onde $F(x)$ é uma primitiva qualquer de $f$".

E este teorema fornece como interpretação geométrica a área da região entre o eixo $OX$ e o gráfico de $f$ no intervalo $[a, b]$.

Nesta questão como desejamos obter a área limitada por duas funções calculamos a seguinte integral definida:

$A_R=\int_a^b [(g(x)-f(x)] \ dx$

onde o gráfico da função $g(x)$ esta acima do gráfico da função $f(x)$.

De acordo com o gráfico das funções $f(x)=x^2-1$ e $g(x)=x+1$ na figura abaixo temos a seguinte integral definida:

$A_R=\int_{-1}^{2} [g(x)-f(x)] \ dx$

$A_R=\int_{-1}^{2} [x+1-x^2+1] \ dx$

$A_R=\int_{-1}^{2} (2+x-x^2) \ dx$

$A_R=\left[2x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}$

$A_R=\left[2\cdot 2+\dfrac{2^2}{2}-\dfrac{2^3}{3}\right]-\left[2\cdot (-1)+\dfrac{(-1)^2}{2}-\dfrac{(-1)^3}{3}\right]$

$A_R=4+2-\dfrac{8}{3}\right]+2-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right]$

$A_R=\dfrac{9}{5}=4,5 \ u.a.$

Para saber mais sobre Integral Definida acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/50103040

#SPJ1