Question

Determine o valor de k na equação :
x²+(8k-4)x+15=0 ,de modo que a soma de suas raízes seja igual a 12

Answer 1

Resposta:

$k = -1.$

Explicação passo a passo:

As raízes podem ser encontradas pela fórmula quadrática ("de Bháskara"):

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\\x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Observe que a soma das raízes faz com que o termo de raiz quadrada se cancele, pois um é o negativo do outro.

Assim, sobram apenas b e a:

$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}.$

Como a = 1 na equação que você postou e $b = 8k - 4$, então temos:

$-(8k-4) = 12$

Resolvendo para k, temos:

$8k-4=-12\\8k = -12 + 4\\8k = -8\\k = -1.$

Assim, teremos a seguinte equação do segundo grau:

$x^2 - 12x + 15 = 0.$

Resolvendo por Bhaskara, temos:

$x_1 = \frac{12 + \sqrt{144 - 60}}{2} = 6 + \sqrt{21}.\\x_2 = \frac{12 - \sqrt{144 - 60}}{2} = 6 - \sqrt{21}.$

A soma das duas raízes fornece: $6 + \sqrt{21} + (6 - \sqrt{21}) = 12,$

como deveria ser.