Question

O numero de diagonais de um polígono é 12 unidades maior que o seu numero de lados. Calcule a soma dos ângulos internos desse poligono?

Answer 1

A soma dos ângulos internos desse polígono é igual a 1080º.

Podemos determinar a soma dos ângulos internos, a partir da fórmula para soma dos ângulos internos de um polígono convexo e do número de diagonais de um polígono.

Total de diagonais de um Polígono Convexo

O total de diagonais de um polígono convexo pode ser calculado pela fórmula:

$\boxed{ d = \dfrac{n \cdot (n-3)}{2} }$

Em que:

• n é o número de lados do polígono convexo.

Do enunciado, o número de diagonais do polígono é 12 unidades maior que o número de lados, ou seja:

$\boxed{d = n+12}$

Assim, substituindo esse valor na fórmula:

$12+n = \dfrac{n \cdot (n-3)}{2} \\\\ 24 +2n = n^{2}-3n \\\\ n^{2}-5n-24=0$

Determinando as raízes da equação pela fórmula de Bhaskara:

$n = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 ac}}{2a} \\\\n = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^{2}-4 \cdot (1) \cdot (-24)}}{2 \cdot 1} \\\\n = \dfrac{5 \pm \sqrt{121}}{2} \\\\n = \dfrac{5 \pm 11}{2} \\\\n' = -3 \text{ e } n'' = 8$

Como o número de lados de um polígono é um número natural positivo, apenas a solução n = 8 é a correta.

Soma dos ângulos internos

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada pela fórmula:

$\boxed{S_{n} = 180^{\circ} \cdot (n-2) }$

Substituindo n = 8 na fórmula:

$S_{8} = 180^{\circ} \cdot (8-2) \\\\S_{8} = 180^{\circ} \cdot 6 \\\\\boxed{ S_{8} = 1.080^{\circ} }$

Assim, a soma dos ângulos internos desse polígono é 1080º.

Para saber mais sobre Quadriláteros, acesse: brainly.com.br/tarefa/41100239

https://brainly.com.br/tarefa/2661213

Espero ter ajudado, até a próxima :)

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