Question

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Answer 1

Resposta:

c. $\displaystyle \lim_{x\to -1} f(x) = -\frac{2}{3}.$

Explicação passo a passo:

Há pelo menos três maneiras de resolver esta questão, dependendo do seu nível de matemática.

A primeira delas é que, quando um limite resulta em uma forma indeterminada, do tipo 0/0, que é o caso, então temos de fatorar a expressão.

Note que x = -1 é uma raiz, tanto do polinômio do numerador, quanto do polinômio do denominador.

Neste caso, ambas as expressões são divisíveis por (x + 1).

Agora esta é a primeira maneira: você pode efetuar a divisão de polinômios: o de cima por (x + 1) e o de baixo também por (x + 1) e então verificar se a forma indeterminada foi contornada.

Neste caso, o de cima é bem fácil, pois é o quadrado da diferença de dois números:

$a^2 - b^2 = (a + b)\times (a - b)$

Assim, o de cima fica: $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$.

Já para o polinômio do denominador, efetuando a divisão de $x^3 + 1$ por $x + 1$, resulta em: $\frac{x^3 + 1}{x + 1} = x^2 -x + 1.$

Logo, podemos reescrever o limite:

$\displaystyle \lim_{x\to -1} \frac{x^2 - 1}{x^3 + 1} = \lim_{x\to -1} \frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x^2-x+1)}$

Note que, como o processo de limite não interessa o que acontece no ponto x = -1, mas nos arredores do ponto, então x nunca vai ser igual a -1. Deste modo, podemos efetuar a divisão naturalmente:

$\frac{x+1}{x+1} = 1$

resultando apenas em

$\displaystyle \lim_{x\to -1} \frac{x-1}{x^2-x+1} = \frac{-1-1}{(-1)^2-(-1) + 1} = -\frac{2}{3}.$

A outra técnica é a aplicação da regra de L'Hopital: quando o limite assume a forma indeterminada 0/0, basta derivar o numerador e denominador, em relação a x, e então tomar o limite, resultando em:

$\displaystyle \lim_{x\to -1} \frac{x^2 - 1}{x^3 + 1} = \lim_{x\to -1} \frac{2x}{3x^2}\\= \displaystyle \lim_{x\to -1} \frac{2}{3x}= -\frac{2}{3}.$

5 pontos é pouco pra essa questão, não? :P

Pelo menos uma melhor resposta :D