Question

4) As coordenadas polares facilitam o cálculo de integrais duplas quando é complicado escrever a região na qual a função está definida em coordenadas retangulares. Utilizando as coordenadas polares, encontramos que o volume do sólido limitado pelo plano z=0 e pelo paraboloide z=1−x2−y2 é igual a:

a) 12π
b) 163π
c) 8π
d) 23–√π
e) 12π

Answer 1

Resposta: 1/2π

Explicação passo a passo:Alternativa correta , substituindo z=0 na equação do paraboloide obtemos x2+y2=1. Então, temos que o plano z=0 intercepta o paraboloide em x2+y2=1, que é um círculo. Assim, o sólido cujo volume desejamos calcular está abaixo do paraboloide e acima da região P dada por x2+y2≤1. Escrevendo P em coordenadas polares obtemos P=(r,θ);0≤r≤1,0≤θ≤2π. Note que f(x,y)=1−x2−y2, assim f(rcosθ,rsenθ)=

1−r2(cosθ)2−r2(senθ)2=1−r2((cosθ)2+(senθ)2)=

1−r2, pois (cosθ)2+(senθ)2=1 .

Então: ∫∫P(1−x2−y2)dA=

∫2π0∫10(1−r2)rdrdθ=

∫2π0∫10(r−r3)drdθ=

∫2π0[r2/2−r4/4]r=1r=0dθ=

∫2π014dθ=

[14θ]2π0=12π.